求一个正交变换，化二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3+2x2x3为标准型。

Question

如题所述

Answer 1

f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3+2x2x3对应的实对称矩阵为
a=[(0,1,1)t,(1,0,1)
t,(1,1,0)
t];下面将其对角化：
先求a的特征值，由|ke-a|=|(k,-1,-1)
t,(-1,k,-1)
t,(-1,-1,k)
t
|=（k-2）*（k+1）^2=0
解得：k=2或k=-1（二重）。
下求方程（ke-a）z=0的解向量
对特征值k=2，（2e-a）z=0解得特征向量z=(1，1，1)t，
单位化α1=(1/√3,
1/√3,
1/√3)
t.
对特征值k=-1，（-e-a）z=0解得特征向量z=（1，-1，0）t或（1，0，-1）t，
schmidt正交化得
α2=（1/√2,-1/√2,0）t,α3=(1/√6,1/√6,-2/√6)
t,
取正交矩阵p=(α1,α2,α3)
=[
(1/√3,
1/√3,
1/√3)
t,
（1/√2,-1/√2,0）t,(1/√6,1/√6,-2/√6)
t]
则有ptap=diag（2，-1，-1）.
对二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3+2x2x3=xtax作正交变换x=py得
f（x）=yt(qtaq)y=2y1^2-y2^2-y3^2.
得到标准型f（y），p为所求正交变换。
t代表对矩阵或向量的转置。
建议找本线性代数的书看看，实际上就是实对称矩阵的对角化。过程比较繁琐，建议检验一下。

Answer 2

A=
0
1
1
1
0
1
1
1
0
A+E=
1
1
1
1
1
1
1
1
1
-->
1
1
1
0
0
0
0
0
0
对应方程
x1+x2+x3=0
(1,-1,0)^T
显然是一个解
与它正交的解有形式
(1,1,x)^T
代入方程
x1+x2+x3=0
确定x=-2
得正交的基础解系
(1,-1,0)^T,
(1,1,2)^T
这只是一个小技巧.
正常做法是求出基础解系,
然后正交化.