随机微分方程数值解在泄洪风险分析中的应用
摘要: 根据泄洪过程中库水位过程的随机微分方程,利用数值解方法,模拟了随机干扰下的库水位及其波
动状况.采用相应公式计算了洪水漫越坝顶事件的概率以及库水位过程在不同时刻的样本均值.并通过比较
在同样强度的随机干扰下库水位的高低状况,确定出各种泄洪方案的优劣,从而对防洪工作具有重要的指导
意义.
关键词: 随机微分方程;数值解;欧拉法;泄洪风险
1 引 言
收稿日期:2005-06-27
基金项目:国家自然科学基金(60474037);教育部新世纪优秀人才支持计划(NCET-04-415)
对于洪水,风暴潮等自然灾害事件,风险分析是一种极为有效的工具[1].由于洪水过程
具有很多种不确定性因素,随机性便很自然地被引入到防洪过程的分析.近年来,这方面的
很多研究工作都认为洪水过程是一随机点过程[2—4];Sen以一阶马尔科夫过程为工具对具
有线性相关结构的水文系列风险进行计算[5].特别地,随机微分方程被引入防洪风险分析,
由此建立了水库调洪演算的随机数学模型[6,7].
由于随机微分方程本身的复杂性,除了一些线性的或者特殊结构的方程以外,可求出显
示解的随机微分方程很少[8,9].本文中讨论的随机微分方程不具有上述性质,因此无法求出
显示解.姜树海根据其解过程的一阶概率密度函数满足Fokker-Plank向前方程,而这一方
程又是一偏微分方程,从而利用偏微分方程的有限差分法求出其数值解[6],但这种方法不能
求得概率特征,于是JC计算方法被用于近似地算出洪水漫越坝顶的概率[7].不难看出,这种
方法由于采用多次转化,误差比较大.
本文利用随机微分方程数值解方法,结合实际例子,分析总结了库水位在布朗运动干扰
下的随机波动状况;直接求出了洪水漫坝的风险概率和库水位过程在不同时刻的数学期望.
并且还对不同的方案进行分析比较,以确定哪种方案的效果更好,从而可对防洪决策过程提
供一定的依据.
2 调洪过程的随机微分方程
调洪过程中入库洪水和出库泄量是随机过程,其库容水位满足随机微分方程[6]:
dH(t) =Q-(t) -q-(H,c)G(H)dt+dB(t)G(H)
H(t0) =H0
(1)
H(t)为库水位过程;H0为初始库水位,它是一个随机变量;Q(t)为任意时刻入库洪
水量;q(h,c)为相应时刻的泄洪流量;Q-,q-分别为来流和泄洪的均值过程线;c为流量系数
等水利参数.G(H) =dW(H)dH,W(H)是水库的库容量,B(t)是一均值为零的Wiener过
程,dB(t)/dt是一正态白噪声,B(t)的一维概率密度函数f(B)为:
f(B) =1
2πt·σexp -B22σ2t.
由上式可以看出,E[B(t)] = 0,D[B(t)] =σ2t.洪水漫越坝顶的泄洪风险率定义为Pf=
Pf[H Z],其中,Z为相应的坝高.
3 计算方法
由于随机微分方程很少可求出显示解,故其数值解方法得到广泛的研究和应用.相对
于常微分方程数值法而言,随机微分方程数值解方法引入了随机增量,它将所考虑的时间
区间做有限划分,一步一步地在节点处生成样本轨道的逼近值,其数值解方法主要有:Eu-
ler法、Milstein法、Runge-Kutta法等.这里采用Euler法.
3.1 随机微分方程解的欧拉逼近法
考虑一般随机微分方程:
dXt=a(t,Xt)dt+b(t,Xt)dWt(2)
其中,t0 t T,初始条件是Xt0=X0.我们对时间区间[t0,T]进行离散化:
t0=τ0<τ1<…<τn<…<τN=T.
采用Euler逼近法[8],构造一连续过程Y= {Y(t),t0 t T}满足以下迭代格式:
Yn+1=Yn+a(τn,Yn)(τn+1-τn) +b(τn,Yn)(Wτn+1-Wτn)
其中,n= 0,1,2,…,N- 1,Y0=X0.将通过逐步迭代得出的有限个离散的随机变量作为
原随机微分方程在相应时间节点的近似解.显然,如果扩散项系数为零,则原随机微分方程
退化为一般的常微分方程,于是随机微分方程的Euler法就退化为常微分方程的Euler法.
就数值方法而言,一般讨论其强收敛性.
定义1[8] 对于一个最大步长为δ的离散逼近序列Yδ,它在时刻T强收敛于一个Ito∧过
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