关于一元二次方程根与系数的关系

Question

1.如果2x^2-mx-4＝0的两个根分别是x1、x2，且1/x1+1/x2＝2，那么实数m的值是？

2.如果2x^2-5x-4＝0的两个根分别是贝塔和阿尔法，那么贝塔+阿尔法+贝塔*阿尔法＝？

3.已知关于x的方程x^2-6x+p^2-2p+5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p的值？（两个方法）

4.当m是什么值时，方程8x^2-（m-1）x+m-7＝0
（1）二根互为倒数？
（2）二根互为相反数？
（3）一根为零？

Answer 1

首先你要知道求根公式

对于一元二次方程 AX^2+BX+C=0
X1=[-B+&(B^2-4AC)]/2A X1=[-B-&(B^2-4AC)]/2A
这里我用&代替开根号
中文：X1，2等于2A分之-B +/- 根号下（B^2-4AC）

所以 X1+X2=-B/A X1*X2=C/A

1： 1/X1+1/X2=2 变形 （X1+X2）/X1*X2=2
既 （-B/A）/(C/A)=2
既 -B/C=2
既 -（-m）/(-4)=2
所以 m=-8
将m=-8代如原方程式，可求得 X1，2=-2 +/- &6（&为根号）
将X1，2带入 1/x1+1/x2＝2
结果成立。

2：因为 X1+X2=-B/A X1*X2=C/A
所以 贝塔+阿尔法+贝塔*阿尔法＝-(-5)/2+(-4)/2=2.5-2=0.5

3：
方法一：将X=2带入方程式得到 p^2-2p-3＝0
分解因式 (p+1)(p-3)=0
可求得 p1=3 p2=-1
分别将p1,p2带入原方程式都等到 x^2-6x+8＝0
式 （x-2）（x-4）=0
可求得 x1=2 x2=4
方法二：因为 X1+X2=-B/A
所以 2+X2=-（-6）/1=6
所以 x2=4
分别将x1,x2带入原方程式都得到 p^2-2p-3＝0
分解因式 (p+1)(p-3)=0
可求得 p1=3 p2=-1

4： 首先满足 B^2-4AC>=0 时方程有解
既 (m-1)^2-32(m-7)>=0
求解过程如下 m^2-34m+225>=0
(m-25)(m-9)>=0
m>=25,m<=9
因为 X1+X2=-B/A X1*X2=C/A
所以
（1）二根互为倒数 X1*X2=1
既 （m-7）/8=1
所以 m=15 不符合条件
故二根互为倒数无解
(2)二根互为相反数 X1+X2=0=-B/A
既 m-1=0
所以 m=1<9 成立
（3）一根为零 则 C=0
既 m-7=0
所以 m=7 <9 成立
{C=0 则 AX^2+BX+C=0=X^2+BX=（X+B）X，，X1=0，，X2=-B}

Answer 2

1.由“与x轴两交点间距离等于3”可知，抛物线与x轴交点坐标为（±√5，0）然后将（+√5，0），（0，2）带入方程，得到第一个解析式；再将（-√5，0），（0，2）带入，得到第二个解析式。这是过程具体得多少，自己算下哈.
2.方程两根公式为-b±√(b^2-4*a*c)/2a,所以，根据题意得[-b+√(b^2-4*a*c)/2*a]-[-b-√(b^2-4*a*c)/2*a]=2,化简得，4*a*c/2*a=2.所以，k=0.
3.1）就是证明δ>0.δ=b^2-4*a*c>0.对照方程，a=2,b=2(k+3),c=2*k+4.带入δ，化简后δ=4*（k+2）^2+4>0.
2）a^2+β^2={-(k+3)+√[(k+2)^2+1]}^2+{-(k+3)-√[(k+2)^2+1]}^2=2[(k+3)^2+(k+2)^2+1]=4(k^2+5k+7),求最小值，设y=k^2+5k+7,把它看成一个抛物线方程，当k取对称轴的值时，y最小，也就是a^2+β^2最小。k=-2.5。
3）就是方程y=x^2+2(k+3)x+2k+4的对称轴为3，即-b/2a=-2(k+3)/2=3,所以k=0.
解答完毕，由于第一个问过程带根号，所以我就没算，你自己算一下啦！

Answer 3

一元二次方程根与系数的关系是什么

Answer 4

2x^2-mx-4＝0
x1+x2=m/2
x1x2=-2
1/x1+1/x2=(x1+x2)/(x1x2)=2
(m/2)/(-2)=2
m=-8
2x^2-5x-4＝0
α+β=5/2
αβ=-2
α+β+αβ=5/2-2=1/2
方法一
x^2-6x+p^2-2p+5＝0的一个根是2
4-12+p^2-2p+5=0
p^2-2p-3=0
(p-3)(p+1)=0
p=3,p=-1
p^2-2p+5=8
x^2-6x+8=0,(x-2)(x-4)=0,另一根x=4
方法二
由韦达定理
2+x2=6
所以另一根x2=4
则2*4=p^2-2p+5
p^2-2p-3=0
(p-3)(p+1)=0
p=3,p=-1
8x^2-（m-1）x+m-7＝0
有两根
(m-1)^2-32(m-7)>=0
m^2-34m+225>=0
(m-25)(m-9)>=0
m>=25,m<=9
（1）二根互为倒数
x1*x2=1
(m-7)/8=1
m=15
不符合m>=25,m<=9
所以无解
（2）二根互为相反数
x1+x2=0
(m-1)/8=0
m=1
（3）一根为零？
x1*x2=0
(m-7)/8=0
m=7

Answer 5

1.
（x1+x2）/x1x2=2
m/2=2*(-2)
m=-8
2.
β+α+β*α=5/2-2=1/2
3.
设另一个根为A
A+2=6 A=4
A*2=p^2-2P+5
p=-1或3
4.(1)由题意x1*x2=1=(m-7)/8 m=15
(2)x1+x2=0=(m-1)/8 m=1
(3)m-7=0 m=7