一元二次方程根与系数的关系的问题

Question

设X1，X2是方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的两根，则根据二次函数的性质有ax^2+bx+c=0=a(x-x1)(x-x2) 这是参考书上的一句话，右边的那个式子0=a(x-x1)(x-x2)我不理解，根据二次函数性质怎么会有这个式子？求解（二次函数我也学过了，但说无妨）

Answer 1

因为X1+X2=-b/a所以b=-a(X1+X2)因为X1X2=c/a所以c=aX1X2代入aX^2+bX+c=0中，得aX^2-aXX2-aXX1+aX1X2=0，将a(X-X1)(X-X2)=0化简，也得到aX^2-aXX2-aXX1+aX1X2=0。

Answer 2

是令ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)=0，也就是假设，因为后一项乘开来就可以得到一元二次三项式。如果有解得话就可以求出x1 x2

Answer 3

首先有两根，Δ=(2k+1)²-4(k²+1)>0
推出k>3/4
两根都比1大则
当x=1时，函数值大于0，且对称轴大于1
解得k>3/4
k≠1
综上k>3/4且k≠1
k≠1是从当x=1时，函数值大于0来的

Answer 4

由 ax+bx+c=0 得 a﹙x＋b／a·x＋c／a＝0
∵a≠0 ∴ x＋b／a·x＋c／a＝0 ①
对①的左边先配成平方差形式，再化成﹙利用平方差公式﹚积的形式得
﹙x－x1﹚﹙x－x2﹚＝0
上式两边同乘以a得 a﹙x－x1﹚﹙x－x2﹚＝0
∴ax^2+bx+c=0=a(x-x1)(x-x2)
追问

对①的左边先配成平方差形式，再化成﹙利用平方差公式﹚积的形式得
﹙x－x1﹚﹙x－x2﹚＝0
这个过程我不理解，能说详细点吗

Answer 5

这就是多项式的因式分解与零点的关系呀。也可从韦达定理得出来。追问

谢谢，能说细点吗，我不理解的是ax^2+bx+c里的x和a(x-x1)(x-x2)里的x怎么会是一样的？

追答

展开a(x-x1)(x-x2)=a[x^2-(x1+x2)x+x1x2]=ax^2-a(x1+x2)x+ax1x2
对比系数得：
b=-a(x1+x2) , 即x1+x2=-b/a
c=ax1x2, 即x1x2=c/a

追问

过程是懂了，但是多项式的因式分解与零点的关系，这一点怎么理解？谢谢，说的清楚给你加分了。

追答

每个零点xi对应一个一次因式（x-xi）。反之亦然。
anx^n+....+a0=an(x-x1)...(x-xn)
通常实系数多项式都可分成实系数一次或二次因式的积。一次因式对应实零点，二次因式对应一对共轭复数零点。

追问

零点是函数图像与x轴的交点吗？什么共轭复数零点，我越来越糊涂了。（x-xi）是不是（x，xi）
anx^n+....+a0=an(x-x1)...(x-xn)这式子什么意思？哎我好笨啊，能不能通俗地讲讲

追答

真晕！
实数零点是函数图像与x轴的交点。复数零点在图像上是看不出的。比如y=x^2+4的零点为2i,-2i.
x-xi就是一个一次因式呀。
anx^n+....+a0就是指一个n次多项式：anx^n+a(n-1)x^(n-1)+...+a1x+a0
an, a(n-1), ..a1, a0是各项的次数。
an(x-x1)...(x-xn)就是该多项式分解成n个一次因式的结果呀。

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