在三角形中，a=b正切A,且B为钝角，求正弦A+正

Question

如题所述

Answer 1

【补充】....a=btanA，且B为钝角，求sinA+sinC的取值范围。
【解】
a=btanA，
a/b=tanA，
∵a/b=sinA/sinB（正弦定理），tan=sinA/cosA，
∴sinB=cosA，
∵cosA=sin（π/2-A）=sin（π/2+A）
∴sinB=sin（π/2-A）=sin（π/2+A），
∵B是钝角，则A、C为锐角，
∴B=π/2+A
∴A+C=π-B=π/2-A
∴C=π/2-2A＞0，
∴A∈（0，π/4），
sinA+sinC
=sinA+sin（π/2-2A）
=sinA+cos2A
=sinA+1-2sin²A
=-2（sin²A-1/2sinA+1/16-9/16）
=-2（sinA-1/4）²+9/8
∵0＜A＜π/4,
∴0＜sinA＜√2/2,
∴√2/2＜-2（sinA-1/4）²+9/8≤9/8
∴sinA+sinC的取值范围（√2/2，9/8]。