已知奇函数f（x）=px+qx+r（实数p、q、r为常数），且满足f（1）=52...

Question

已知奇函数f（x）=px+qx+r（实数p、q、r为常数），且满足f（1）=52，f（2）=174． （1）求函数f（x）的解析式； （2）试判断函数f（x）在区间（0，12]上的单调性，并用函数单调性定义证明；（3）当x∈（0，12]时，函数f（x）≥2-m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵f（-x）=-f（x）∴r=0
∵f(1)=52f(2)=174即有p+q=522p+q2=174即p=2q=12，
则f（x）=2x+12x；
（2）函数f（x）在区间（0，12]上单调递减．
证明：设0＜m＜n≤12，则f（m）-f（n）=2（m-n）+12m-12n=2（m-n）+n-m2mn
=(n-m)(1-4mn)2mn，由于0＜m＜n≤12，则m-n＜0，0＜mn＜14，1-4mn＞0，
则有f（m）-f（n）＞0，即f（m）＞f（n），
则函数f（x）在区间（0，12]上单调递减；
（3）由（2）知，函数f（x）在区间（0，12]上单调递减，则f（12）最小，且为2，
当x∈（0，12]时，函数f（x）≥2-m恒成立即为f（x）min≥2-m，
即有2≥2-m，解得，m≥0．