对勾函数,是一种类似于反比例函数的一般双曲函数,是形如f(x)=ax+b/x(a>0,b>0)的函数。
由图像得名,又被称为“双勾函数”、“勾函数”、"对号函数"、“双飞燕函数”等。因函数图像和耐克商标相似,也被形象称为“耐克函数”或“耐克曲线”。
当x>0,有x=√b/√a,有最小值是2√ab。
当x<0,有x=-√b/√a,有最大值是:-2√ab。
含义
f(x)=ax+b/x(a>0) 在高中文科数学中a多半仅为1,b值不定,理科数学变化更为复杂。
定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)。
值域为(-∞,-2√ab]∪[2√ab,+∞)。
对勾函数的图像是分别以y轴和y=ax为渐近线的两支曲线,且图像上任意一点到两条渐近线的距离之积恰为渐近线夹角(0-180°)的正弦值与|b|的乘积。
对勾函数的最小值求法:
对于f(x)=x+a/x这样的形式(“√a”就是“根号下a”)
当x>0时,有最小值,为f(√a)
当x=2√ab[a,b都不为负])
比如:当x>0是f(x)有最小值,由均值定理得:
x+a/x>=2√(x*a/x)=2√a
故f(x)的最小值为2√a。
对勾函数的一般形式是:(x)=ax+b/x(a>0) 不过在高中文科数学中a多半仅为1,b值不定。理科数学变化更为复杂。
定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)值域为(-∞,-2√ab]∪[2√ab,+∞)当x>0,有x=根号b/根号a,有最小值是2√ab当x<0,有x=-根号b/根号a,有最大值是:-2√ab
对勾函数的解析式为y=x+a/x(其中a>0),对勾函数的单调性讨论如下:设x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1+a/x1-(x2+a/x2)=(x1-x2)+a(x2-x1)/(x1x2)=[(x1-x2)(x1x2-a)]/(x1x2)。
对勾函数最小值可以通过求导数或者观察函数图像来确定。
①知识点定义来源&讲解:
对勾函数,也称为抛物线函数或二次函数,是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数,其中a、b、c为常数,且a不等于零。对勾函数的图像是一个开口朝上或开口朝下的抛物线。
②知识点运用:
要求对勾函数的最小值,可以采用以下两种方法:
1. 求导法:对f(x)进行求导,令导数等于零,求出极值点,然后通过二阶导数判定是否为最小值点。
2. 图像观察法:通过观察对勾函数的图像来确定最低点,即最小值点。
③知识点例题讲解:
例题:求函数f(x) = x^2 - 4x + 3的最小值。
解析:
1. 求导法:
首先,对f(x)进行求导得到f'(x) = 2x - 4。
然后,令f'(x) = 0,解得2x - 4 = 0,即x = 2。
接着,求出极值点x = 2的二阶导数f''(x) = 2。
由于f''(x)大于零,说明x = 2对应的是函数f(x)的最小值点。
代入x = 2到原函数f(x)中,得到f(2) = 2^2 - 4 × 2 + 3 = -1。
所以,函数f(x)的最小值为-1。
2. 图像观察法:
观察函数f(x) = x^2 - 4x + 3的图像,发现它是一个开口朝上的抛物线,因此最小值出现在抛物线的顶点处。
通过计算可以得到顶点的x坐标为x = 2,代入原函数f(x)中,得到f(2) = -1。因此,函数f(x)的最小值为-1。