已知a为实数，函数f(x)=x^2+|x-a|+1,x属于R

Question

1)讨论f(x)的奇偶性
2)求f(x)的最小值

Answer 1

1）
当a=0时，f(-x)=(-x)^2+|-x|=x^2+|x|=f(x).为偶函数
当a≠0时，为非奇非偶函数
2）
令f(x)=x^2+∣x-a∣+1（=x^2+1）+|x-a|=f1(x)+f2(x)
则f1(x)关于x=0对称，f2(x)关于x=a对称.
讨论：
a<0,x<a，f1、f2递减。f(x)min1=f(a)=a^2+1
a<x<0，f1递减,f2递增，f(x)=x^2+x-a+1=(x+0.5)^2-a+0.75,
f(x)min2=f(-0.5).
x>=0,f1递增,f2递增，f(x)min3=f(0)=-a+1
f(x)min=min[a^2+1,0.75-a,-a+1]
当a≤-0.5时，f(x)min=f(-0.5)=0.75-a;
当-0.5<a<0,f(x)min=a^2+1
当0≤a<0.5时，f(x)min=a^2+1;
当a≥0.5时，f(x)min=f(0.5)=0.75+a.

Answer 2

(1)F(X)是非奇非偶函数
(2)当X>A时,F(X)=X^2+X-A+1,最少值为3/4-A
当X<A时,F(X)=X^2-X+A+1,最小值为了5/4+A
3/4-A-5/4-A>0时,即A<-1/4时,最小值为5/4+A
3/4-A-5/4-A<0时,即A>-1/4时,最小值为 3/4-A

Answer 3

我弄错了

Answer 4

1）
当a=0时，f(-x)=(-x)^2+|-x|=x^2+|x|=f(x).为偶函数
当a≠0时，为非奇非偶函数
2）
令f(x)=x^2+∣x-a∣+1（=x^2+1）+|x-a|=f1(x)+f2(x)
则f1(x)关于x=0对称，f2(x)关于x=a对称.
讨论：
a<0,x<a，f1、f2递减。f(x)min1=f(a)=a^2+1
a<x<0，f1递减,f2递增，f(x)=x^2+x-a+1=(x+0.5)^2-a+0.75,
f(x)min2=f(-0.5).
x>=0,f1递增,f2递增，f(x)min3=f(0)=-a+1
f(x)min=min[a^2+1,0.75-a,-a+1]
当a≤-0.5时，f(x)min=f(-0.5)=0.75-a;
当-0.5<a<0,f(x)min=a^2+1
当0≤a<0.5时，f(x)min=a^2+1;
当a≥0.5时，f(x)min=f(0.5)=0.75+a.