如何求函数的最大值与最小值? (可以用偏微分)

Question

如题所述

Answer 1

显然，x,y,z均不为0， 则上下均乘以 x^2 y^2 z^2
得到
f(x,y,z)= [x^2 + y^2 + z^2 + 3/2*(xy+yz+zx)] / (x^2+y^2+z^2)

最大值：
由于 xy + yz + zx <= x^2 +y^2 + z^2
所以 f(x,y,z) <= (x^2 + y^2 + z^2 + 3/2*(x^2 +y^2 + z^2 )) / (x^2+y^2+z^2) =
= 2.5
当且仅当 x = y = z时，等号成立，可取到最大值

最小值：f(x,y,z)因式分解
f(x,y,z) =[ 3/4*(x+y+z)^2 + 1/4*(x^2+y^2+z^2) ] / (x^2+y^2+z^2)
> = 1/4*(x^2+y^2+z^2) ] / (x^2+y^2+z^2) = 1/4

当且仅当 x+y+z = 0时，等号成立

综上所述 0.25 <= f(x) <= 2.5

这个题目主要就是考验 是否对 x^2+y^2+z^2 >= xy+yz+zx
以及 (x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2 + 2(xy+yz+zx)
能够熟练的掌握和运用

Answer 2

这个初中知识可以搞定
f(x,y,z)=1+(3/2)(1/(xy^2z)+1/x^2yz+1/xyz^2)/(1/x^2y^2+1/y^2z^2+1/x^2z^2)再把分子分母通分得
1+(3/2)(xz+yz+xy)/(x^2+y^2+z^2)≤1+3/2=5/2(因为xz+yz+xy≤x^2+y^2+z^2,其中xz+yz+xy≤x^2+y^2+z^2可由(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2≥0展开合并获得)