求矩阵的秩的时候可以混合使用初等行变换和初等列变换吗？

Question

还有什么是行阶梯矩阵，难道还有对应的列阶梯矩阵吗？
我看教科书上写的都是用初等行变换来化为阶梯形矩阵和约化的阶梯形矩阵，那就不能通过(1)只用初等列变换或者(2)混用初等行变换和初等列变换来化为阶梯形矩阵和约化的阶梯形矩阵了吗？
因为我做题的时候，会犹豫到底可不可以混用来化为阶梯形矩阵和约化的阶梯形矩阵，害怕混用后求出的矩阵不是正确的阶梯形矩阵。所以希望您帮我解答一下。。O(∩_∩)O。

Answer 1

可以。

在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。即如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。

A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作rA，或rankA或R(A)。特别规定零矩阵的秩为零。显然rA≤min(m,n) 易得：若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。

由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A)≠0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。由行列式的性质知，矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的，即rank(A)=rank(AT)。

扩展资料：

矩阵的秩的性质：

1、转置后秩不变；

2、r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵；

3、r(kA)=r(A),k不等于0；

4、r(A)=0 <=> A=0；

5、r(A+B)<=r(A)+r(B)；

6、r(AB)<=min(r(A),r(B))；

7、r(A)+r(B)-n<=r(AB)。