判断广义积分敛散性

Question

∫(1→∞)(1/x*(x^2+1)^1/3)dx
要是乘x是发散
要是乘x^(5/3)是收敛
怎么不同方法结果不一样啊

Answer 1

　　你用的是Cauchy 判别法（或比较判别法）：若
　　 ( x^p)*{1/[x*(x^2+1)^(1/3)]} →C (x→∞)，
则当0<C<= ∞且p<=1时积分发散；当0<=C< ∞且p>1时积分收敛。
这里，乘x时，得
　　 x*{1/[x*(x^2+1)^(1/3)]}→0 (x→∞)，

不能应用该判别法，因此得不出发散的结论的。追问

此题中，limxf(x)不是等于0吗，极限存在啊，那么根据比较判别法不是积分发散吗，为什么不能用啊

追答

　　limxf(x)=0，不符合判别法中的判别发散的条件“ 当0<C<= ∞且p<=1时积分发散”！

Answer 2

看分母，奇点在x=0，但是积分是从1开始的，所以无需考虑，只需考虑积分上限的无穷处
即需要使用比较判别法
因为
0<1/x*(x^2+1)^1/3<1/x*(x^2)^1/3=1/x^(5/3)

而后者的在[1,∞]上积分是收敛的，因为p=5/3>1
所以收敛
你的
“要是乘x是发散
要是乘x^(5/3)是收敛”
不知是什么意思==
这里只需用到
当a>0,
∫[a,∞] 1/x^p dx 收敛当且仅当p>1追问

我用的是一个推论啊

追答

你请说出推论

追问

我用的是一个推论啊

追答

你请说出推论+你怎么用到
“要是乘x是发散
要是乘x^(5/3)是收敛”
的，我好解释

追问

书上的：fx是在[a, ∞)的连续函数，则x→∞时有limxf(x)存在或无穷时，积分发散

追答

fx是在[a, ∞)的连续函数，则x→∞时有limxf(x)存在"不为0吧"或无穷时，积分发散

乘以x，极限为0，所以收敛
其次，你为什么乘以x^(5/3)?

追问

乘以x^5/3时，约分后分子分母同时除x^2/3，极限就可以求出来为1

Answer 3

第一题只要收敛和发散就好

Answer 4

原函数是1/2×ln

Answer 5