设向量组 a1,a2,a3,···,am与向量a1,a2,a3,···,am,b有相同的秩,证明b能a1,a2,a3,···,am线性表示

如题所述

推荐答案 2013-08-15

不妨设秩=r<=m，且a1a2...ar是极大无关向量组，即a1a2...ar不能被a1,a2,a3,···,am线性表示，ar+1,ar+2....am可以被a1,a2,a3,···,am线性表示
a1,a2,a3,···,am,b的秩也为r，因为ar+1,ar+2....am可以被a1,a2,a3,···,am线性表示，故ar+1,ar+2....am可以被a1,a2,a3,···,am，b（b的系数为0即可）线性表示，因此在a1,a2,a3,···,ar,b中有且只有一个能被a1,a2,a3,···,am,b线性表示。
假设是ai（1<=i<=r）能被a1,a2,a3,···,am,b线性表示，
ai=k1a1+k2a2+...kmam+kb，k1k2k3....km,k不全为0，如果k=0，则ai能够
被a1,a2,a3,···,am,b线性表示，与题设矛盾
将ai=k1a1+k2a2+...kmam+kb，化为b=ai-（k1a1+k2a2+...kmam）/k，即b
能a1,a2,a3,···,am线性表示

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第1个回答 2013-08-15

证明:
因为 r(a1,a2,a3,···,am)=r(a1,a2,a3,···,am,b)
所以线性方程组 (a1,a2,a3,···,am)x = b 有解
所以 b 可由 a1,a2,a3,···,am 线性表示

相似回答

设向量组a1,a2,a3,...,am与向量组a1,a2,...,am,b的秩相等,试证:l两向 ...答：=k1"a1+k2"a2+...+km"am + k1'a1+k2'a2+...+km'am =(k1"+k1')a1+ (k2"+k2')a1+...+(km"-km')am is a linearly combination of {a1,a2,...,am} => 向量组a1,a2,...,am,b is a subset of 向量组a1,a2,...,am =>向量组a1,a2,a3,...,am= 向量组a1,a2,....

向量组等价的条件是什么?答：向量组是由一组向量构成的，如向量组A：a1,a2,a3,…,am.其中a1,a2,a3,…,am均为向量。向量组等价的基本判定是：两个向量组可以互相线性表示。需要重点强调的是：等价的向量组的秩相等，但是秩相等的向量组不一定等价。向量组A：a1，a2，…am与向量组B：b1，b2，…bn的等价秩相等条件是R（A）...

已知a1,a2...ar与a1,a2...ar,b有相同秩,证明等价答：因为a1,a2...ar与a1,a2...ar,b有相同秩，所以b能用a1,a2,……,ar线性表示。因此向量组a1,a2...ar与a1,a2...ar,b能相互线性表示，这说明两者等价。

证明向量组b1,b2..,bm与向量组a1,a2,..,am有相同的秩答：(b1,...,bm) = (a1,...,am) K K= 0 1 1 ... 1 1 0 1 ... 1 1 1 0 ... 1 ...11 1... 0 因为 |K| = (n-1) (-1)^(n-1) 不等于 0 所以 K 可逆所以 R(b1,...,bm) = R(a1,...,am)

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