求解这道高一不等式题:已知a,b,c,d均为正数,且a最大,a/b=c/d,是比较a+d与b+c的大小？

Question

如题所述

Answer 1

令 a/b=c/d=t ，
所以 (a+d)-(b+c)
=(bt+d)-(b+dt)
=(t-1)(b-d)
由于 a 最大，因此 t>1 ，
又 a/c=b/d>1 ，所以 b>d ，
因此 (t-1)(b-d)>0 ，
则 a+d>b+c 。

Answer 2

因为四个数都是正数，所以要比较a+d与b+c，只需比较(a+d)/(bd)与(b+c)/(bc)
考虑两者的差值：
(a+d)/(bd) - (b+c)/(bd)

= ( a/b * 1/d + 1/b ) - ( 1/d + c/d * 1/b )
= ( a/b-1 ) * 1/d + ( 1-c/d )*1/b
因为a/b=c/d，所以上面的式子等于
(a/b-1)*( 1/d - 1/b )
因为a最大，所以a/b和a/c都大于1
而 b = (a/c)d > d，所以1/d > 1/b，1/d - 1/b>0
所以
(a+d)/(bd) - (b+c)/(bd) = (a/b-1)*( 1/d - 1/b ) >0

所以a+d>b+c