《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》(以下简称“课程标准”)在内容标准部分设有“统计与概率”这一领域。规定第一学段为“不确定现象”，教学目标是：(1)初步体验有些事件的发生是确定的，有些则是不确定的；(2)能够列出简单试验所有可能发生的结果；(3)知道事件发生的可能性是有大小的；(4)对一些简单事件发生的可能性作出描述，并和同伴交换想法。第二学段为“可能性”，教学目标是：(1)体验事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性，会求一些简单事件发生的可能性；(2)能设计一个方案，符合指定的要求；(3)对简单事件发生的可能性作出预测，并阐述自己的理由。根据课程标准，各种版本小学数学课程标准实验教材都编排了上述内容，且体系和教学目标大致相同。随之而来以此为内容作公开课、示范课、比赛课的层出不穷。究其原因：一是新内容体现新理念，有其独特优势；二是概率内容的教学以前没有涉及，属于原创，课堂教学中容易产生好的效果。然而随着课程改革的不断深入，简单概率知识教学理论研究与教学实践中的问题逐渐暴露出来。下面笔者将结合教学实践，分析问题，探索解决 问题的一些策略。
一、从知识到教材：深入浅出悟道里
1.知识把握
在小学数学教学中，教师要想心中有数、有的放矢的驾驭好涉及简单概率知识这部分教材，必须较完整地学习概率知识，理清逻辑顺序，梳理知识结构，理解基本概念。教师不妨可以参阅江苏教育出版社《普通高中课程标准实验教科书数学3（必修）》第7章。本文摘录其中的部分内容并参考相关资料，整理成以下两部分：
表一：随机事件的有关概念
概 念
定 义
确定性现象
在一定条件下必然发生或必然不发生的现象。
随机现象
在现实世界中，在给定的条件下，重复同样的试验，有一些现象却有时发生有时不发生。它有两个特点：①在一次试验，观察中，该现象的发生与否呈现不确定性，没有规则、不可预测；②在大量的试验和重复观察中，从整体来看，该现象的发生与否却表现出一种非偶然的规律性，即具有统计规律性。这些现象被称为随机现象。
事件
事件是指在一定条件下所出现的某种结果。结果是相应于一定条件而言的。在一组基本条件下，以结果是否发生作为标准，可把事件分为三类：结果必然发生的叫做必然事件；结果不可能发生的叫做不可能事件；结果可能发生也可能不发生的叫做随机事件。
随机事件
随机事件具有两个特点：①可以在相同的条件下，重复地作大量的试验或观察；②每——次试验或观察的结果不一定相同，且无法预测下一次的试验或观察结果是什么。
随机试验
随机试验具有如下特点：①在相同条件下可以重复进行；②试验的可能果不止一个，但所有结果事先都能明确；③每次试验之前，无法预料会出现哪个结果
表二：随机事件的概率的有关概念
概 念
定 义
频数
对于事件A，若在n次试验中，事件A发生的次数为m次，m称为事件A在这n次试验中的频数。
频率F0(A)
F0(A)=为事件A在n次实验室中发生的频率。
频率的稳定性
在大量的试验中，事件A发生的频率随着试验次数的增大总在某个常数值附近摆动，这种规律性称为频率的稳定性，这个常数值就是概率。
概率P(A)
一个能表示随机事件发生的可能性的大小的数就叫随机事四的概率，记作户(A)。一个不可能事件的概率是0，一个必然事件的概率是1，而随机事件的概率是介于0和1之间的某个数。在古典概率模型中，当试验有n个结果，且每个结果性质的可能性都相向时，如果事舢总共含有m种等可能结果，那么事件A发生的概率F(A)=。
由上可知：
（1）客观世界中存在着大量的必然现象和随机现象，人们在实践中经常会遇到各种随机现象，需要从大量的偶然性中找出规律性、必然性。概率的研究对象就是分析随机现象的各种可能发生的结果，研究偶然中蕴含的规律性、必然性。
(2)概率的描述性统计定义可以理解为：在不变的一组条件S下，重复作n次试验，记m是n次试验中事件A发生的次数，当试验的次数n很大时，如果频率稳定于某一个数值p，则称数值p为随机事件A在条件组A下发生的概率，记作P(A)=p。
(3)“统计与概率”这一领域的内容是一种“不确定性数学”，与传统的“确定性数学”内容上有较大的区别。概率知识研究的基础主要是定义和假设。
2．教材把握
对照这些概念的定义，仔细推敲，我们方能把握小学数学教材中各年段概率知识教学的要义。下面以苏教版教材为例进行说明。
(1)理解教材的编排特点。如果单纯从知识的角度看，能在小学进行教学的概率内容并不多。因此，根据课程标准的要求和学生的认知水平，教材在第一、二两个学段分四次安排教学可能性的知识。
二年级上学期：“可能性”。利用“摸球”“转盘”等游戏活动，初步体验有些事件的发生是确定的，有些则是不确定的。能对一些简单事件发生的可能性作出描述，并和同伴交换想法。
三年级上学期：“统计与可能性”。通过摸球活动的试验知道事件发生的可能性是有大小的。
四年级上学期：“游戏规则的公平性”。体验事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性。
六年级上学期：“可能性”。会用分数表示一些简单事件发生的可能性；能设计一个游戏方案，符合指定的事件发生的可能性大小的要求；对简单事件发生的可能性大小作出预测，并阐述自己的理由。
(2)理解教学内容的重点、难点。二年级上学期的教学内容是“可能性”，教学重点是在相同的试验条件下，体验确定性现象和不确定现象，教学难点是用恰当的语言对一些简单事件发生的可能性作出正确描述。三年级上学期的教学内容是“统计与可能性”，教学重点是在摸球试验中知道事件发生的可能性是有大小的；教学难点是通过观察、分析摸球的次数(频数)，推断出可能性相等和可能性大小的结论。四年级上学期的教学内容是“游戏规则的公平性”，教学重点是体验游戏规则的公平性，教学难点是让学生通过等可能性理解公平性，强调游戏中输赢的可能性相等，而游戏的结果是不可预测的、 有赢有输。六年级上学期的教学内容是“可能性”，教学重点和难点是联系分数的意义，理解并学会用分数表示事件发生可能性大小的基本思路和方法，即理解和学会用分数表示事件发生的概率。
二、从问题到分析：追本溯源找原因
1．问题呈现
笔者在平时听课、教研活动中，发现小学数学“统计与概率”内容的教学存在以下问题：
二年级上学期教学“可能性”出现的问题有：(1)摸球试验前，试验要求不清，没有强调“相同的试验条件”(如搅拌均，任意摸一个，摸后放回)；(2)教师错把语文造句练习当作不确定性现象进行教学。如，请学生用“一定”、“可能”和“不可能”填空：姐姐的年龄(一定)比弟弟大，小明的年龄(可能)比小刚大。
三年级上学期教学“统计与可能性”出现的问题有：(1)企图用试验方法(摸球)，在有限的摸球次数下直观得到可能性相等或可能性大小的结论；(2)用摸的次数越多，摸到XX球XX球的次数越接近来得到可能性相等的结论。
四年级上学期教学“游戏规则的公平性”出现的问题有：（1）用“猜想——验证”的方法证明游戏规则是公平的或游戏规则是不公平的；(2)用游戏的结果来说明游戏规则是否公平。
六年级上学期教学“可能性”出现的问题有：(1)教师对频数、频率、频率的稳定性、概率这几个概念理解不清；(2)用抛硬币”的试验得到“正面朝上”和“反面朝上”的次数相等，进而得到可能性是；(3)过于强调计算，忽视蕴含其中的概率的基本思想；(4)出现有问题的练习题：如①某篮球运动员任意投篮一次，投中的可能性是；②任意抛40次硬币，可能有多少次正面朝上?可能有多少次反面朝上?
2．原因分析
出现上述问题的主要原因是教师对简单概率知识认识不到位，理解不深刻。下面笔者结合上文列举的简单概率知识的点，重点分析上述问题。
二年级上学期教学“可能性”，重点是让学生在随机试验(摸球)中，体验必然事件和随机事件的发生。进行随机试验的前提必须是在给定条件下，即要在不变的一组条件S下，重复做n次试验，才能正确体验到随机事件A的发生。因此在摸球活动前教师必须讲清两个要点：(1)球除颜色外，其余都完全相同(包括大小、质量、手感等)；(2)摸球之前先要搅一搅，要搅匀(搅匀是摸球试验中研究随机事件、保证公平的前提条件)，再从中任意摸一个球。摸球活动结束后，教师要引导学生结合操作，正确应用“可能”“不可能”和“一定”三个词语来描述摸球结果。教师还应注意，要明确数学学习内容和研究对象，不要错把语文练习中的用“可能”“一定”等词语造句，与数学中研究不确定性现象混淆起来。例如，请学生用“一定”、“可能”和“不可能”填空：姐姐的年龄(一定)比弟弟大，小明的年龄(可能)比小刚大。小明和小刚的年龄是客观的数据，只是因 为我们不知道他们的年龄，所以句子中可用“可能”这个词填空。我们不能因为语句中出现了“一定”“可能”“不可能”等词汇，就认为它属于数学“可能性”的研究范畴。因此，教师要正确理解教学内容，实际教学中不要设计这样的问题和学生“搞脑子”，而应根据学生的实际水平，设计能判断的不确定现象或随机现象，例如，“任意找两个自然数，它们的和可能是双数，可能是单数”等。
三年级上学期的“摸球”、四年级上学期的“游戏规则的公平性”和六年级上学期“抛硬币”等教学内容，都涉及随机试验。对于这些随机试验的条件和结果，教师要注意根据学生的认知水平和教学需要，对学生进行必要的引导和说明。但是，实际教学中，由于知识准备的不足并缺乏对随机试验的深切体验和深刻认识，一些教师往往会在潜意识中对试验结果有一些错误的希望，例如“摸得次数足够多，摸到XX球和XX球的次数会相等”“摸的次数足够多，摸到XX球和XX球的次数相差很小”“摸的总次数越多，摸到XX球和XX球的次数相差得越小”“公平的游戏输赢的次数应该差不多”“公平的游戏平的次数最多”等。也有的教师在教学“游戏规则的公平性”时，试图用概率的统计意义(即用频率估计概率的方法)，引导学生用“猜想——验证”的方式来让学生理解等可能性，或证明设计的游戏规则是否公平；这是不妥当的。
于是，当课堂上有限次的试验结果不符合教师的这种错误希望时——例如学生发现到摸到XX球和XX球的次数相差较大，或者实际游戏的结果有时输或赢的次数要远远高于平的次数，有时输和赢的次数也不接近——教师不能做出正确解释，无法从试验的结果来证明游戏规则的公平性，因此选择忽略课堂试验数据，出示课前准备的大量重复试验后的数据，并匆匆得到结论：摸球(抛硬币)的次数越多，摸到红球和黄球（出现正面和出现反面)的次数越接近。
从定义上分析，一个随机事件的发生既有随机性(对单次试验来说)，又存在统计规律性(对大量重复试验来说)，是偶然性与必然性的统一。随机事件的统计规律表现在：随机事件的频率，即此事件发生的次数(频数)与试验总次数的比值具有稳定性，总是在某个常数附近摆动（概率中的“频率在某个常数附近摆动”“频率稳定于概率”不同于 一般意义上的越来越接近。通俗地说，随机试验的次数越多，出现频率大幅度地偏离概率的情况的可能性越小）。这个常数就叫做随机事件的概率。结合前文所述的随机试验的特点，笔者发现出现上述现象的原因，是因为教师往往容易忽略以下三点：在随机 试验中，(1)每次试验前，其结果是不可预测的，无法断言会出现哪一个结果，但每次试验后，其实际结果是客观存在的，且若进行大量重复试验后，其实际结果具有统计规律性；(2)观察大量随机试验的结果，剔除一些极少发生的现象，才可以抽象出统计规律性；(3)用试验的方法得出的频率只是概率的估计值，要想得到近似程度较高的概率估计值，通常需要大量的试验，在有限的课堂时间中，不容易做到。而且在概率论中，“等可能性”是一个公认的未定义的概念，其作用和地位类似于几何学中理论上的“点”和“线”，虽然没有定义，但在此基础上却可以建立一个逻辑上相容的理论。而人只有通过经验才 能决定任何实际的事件是否符合于理论。因此，“等可能性”可以从概率的古典定义的角度去认识——因为抛的结果只有两种可能，且两种结果的可能性相等，所以该随机事件的概率是，却不能通过试验、游戏来验证、证明；而试验、游戏可以让学生体验等可能性和随机性的辩证统一，培养学生的随机思维。在课堂上引入随机试验，既不是让学生得出次数相等的结果，也不是要验证、证明规则的公平性，更不是要利用试验得到概率的估计值，而是希望学生在进行随机试验和收集数据的过程中，进一步体会随机的思想，感受、领悟等可能性。
此外，“随着试验的次数的不断增多，硬币落地后正面朝上的次数和反面朝上的次数将越来越接近”的说法是人教版的教材培训和苏教版的教参中提供的说法。虽然从严格意义上讲这是不科学的说法，但受小学生认知水平的限制，这种说法是学生比较容易理解的。而教师在引导学生领悟等可能性时，要注意在分析、比较数据的过程中引导学生参照试验的总次数，渗透频数这种相对数据的意识，但不点破这个概念；避免学生用相差数这样的绝对数据去比较。当然，有一种结论是不对的：在这样的口袋中，任意摸一个球，摸多次，摸到红球和黄球的可能性差不多。正确的说法可以是：袋中有3个红球和3个黄球，每次任意摸一个，摸多次，摸到红球和黄球的次数差不多；在这样的口袋中，任意摸一个球，摸到红球和黄球的可能性相等。
六年级上学期在教学例题和练习时，不仅要教会学生正确计算概率的方法，更要注意引导学生理解概率的意义。如掷一个六个面上分别是1、2、3、4、5、6的骰子，教师要引导学生理解抛的结果只有六种可能，且六种结果的可能性相等，因此数1出现的可能性是；因为1、3、5是奇数，每个数出现的可能性分别是，所以奇数出现的可能性是3个，就是；而因为有3个奇数和3个偶数，所以出现奇数或偶数的可能性都是。又如，前述问题(4)中的练习①，由于投篮球这个试验的条件不可控制，无法定义随机试验，所以“某篮球运动员投篮 一次，出现‘投中’或‘未投中’两种结果的可能性相等，P(投中)=P(未投中)= ”的说法是不正确的；练习②教师要明白的是，无论抛多少次硬币，正面朝上的概率是，但抛40次硬币，正面朝上的次数可能是0-40次中的任意一种次数情况，体现的是随机事件的随机性，并非统计规律性。
三、从反思到探索：独辟蹊径探策略
1．调整教材的编排体系，认识“可能性”
听过多位教师执教的“可能性”一课，也学习过许多“可能性”的教学设计。但有这样一个问题始终没有解决，那就是学生在动手试验并分析数据前，也就是在作猜测的时候，对摸球、掷硬币等随机现象是有所体会的。但在分析试验数据时，学生反而糊涂了，对自己的猜想产生疑问，觉得自己的猜想是对的，却得不到符合猜想的结果，怎么会呢?笔者认为，这有两方面的原因：一方面要发现随机事件的统计规律性需要进行 大量的试验，课堂上学生试验的次数不多，就很难从得到的数据中发现统计规律性；另一方面，学生的猜想可能只是依葫芦画瓢，他们可能错误地以为“只要掷硬币到某一次数，正面或反面出现的次数会一样多，虽然现在没有一样多，那是因为抛掷得还不够多。”对于小学生来说(尤其是三年级的学生)，认知水平和知识准备不足，要理解随机事件的偶然性和必然性是很困难的，于是课堂上很可能就出现教师越讲学生越糊涂的情况。综合上面的意见，教材可以把简单概率知识的教学放到第二学段或更后，且应简单：先认识确定现象和不确定现象，在学习比值的概念后，认识可能性相等和可能性大小，认 识用分数表示事件的可能性，最后学习游戏规则的公平性。这样的编排体系可能更适合学生的认知水平，有利于教师组织教学。
2．经历试验的活动过程，体验“可能性”
小学生首次学习可能性时，由于可能性研究的是随机事件发生偶然性中的必然规律，所以如果不经历随机的体验过程，学生是很难建立相关观念的。通过随机试验、数据分析和结论推断，可以让学生体验日常生活中存在大量不确定性现象，有些事情可能发生，有些事情不可能发生，分析这些现象可以找到规律；渗透随机和概率思想。例如六年级教学“可能性”时，教学过程不妨按此线索设计：
(1)合作试验，引导探索
①试验前猜想
提问：任意抛一次硬币，猜猜会抛到哪一面?正面和反面朝上的可能性会怎样呢?
②学生分组试验，收集并分析数据
试验一：教师抛一次硬币。
体会：事件发生的随机性和结果的客观存在性。
试验二：等分小组，在相同的试验条件下，每人试抛2次硬币。
引发学生质疑，再次体会事件发生的随机性，并引发认知冲突，我们的猜想正确吗?怎样才能推测我们的猜想正确呢?
试验三：等分小组，在相同的试验条件下，每组试抛40次硬币。
收集数据，统计数据，计算比值，制成折线统计图。
指导学生看图，初步体验比值(频率)会比高或低，但基本在附近摆动。
(2)正确推断，理解概率
①出示科学家的数据表，进行推断
出示科学家的数据表、计算比值后，同样制成折线统计图。
进一步体会随着试验次数的不断增多，比值(频率)就稳定在。
②结合意义，理解用分数表示可能性
想一想，任意抛一次硬币，正面朝上的可能性是多少?
引导学生从意义上理解：抛的结果只有两种可能，而且这两种结果的可能性相等，那么其中一种结果出现的可能性是。
3．提升概率的认识水平，理解“可能性”
我们常说：给学生一杯水，教师要有一桶水；给学生一杯水，教师要有“常流水”。客观地说，现在的小学数学教师系统学习过概率论知识的并不多，而要引导学生领会事件发生的随机性、事件发生结果的必然性、大量随机现象中的统计规律性，教师就必须较深入地学习这些知识。只有这样，教师才能在明晰概念的前提下帮助学生领会可能性，及时发现纠正学生的片面、肤浅的认识，避免出现越讲学生越糊涂的现象。因此，教师在执教过程中要着重把握以下几条：
(1)试验要求要明确，要突出在相同条件下做大量的重复试验。
(2)明白试验前是无法知道事件发生的结果，这是因为事件的发生有随机性；但试验后结果是确定的，同时，由于课堂试验次数少，学生不易看清统计规律性。
(3)弄清频数、频率、概率等概念的含义，并注意在对小学生教学时，语言描述上可以通俗，不出现专业术语，但要尽量准确，符合概念的定义。如描述频数：应说成出现的次数差不多；如描述频率：要理解它是一个比值，是概率的近似值，它始终在某个常数附近摆动；如描述概率：应说成可能性相等，可能性大，可能性小，可能性是多少。
(4)等可能性是用“由部分推断全体”的统计推断方法从大量数据中抽象出来的，因此是无法验证的，所以教学方式不应是简单的猜想——验证，而应是猜想——试验——分析——推断。
(5)正确处理上课时的“坏”数据。随机事件的统计规律，实际上要排除“长序列连续出现正(反)面”“正(反)面出现的频率大幅度偏离”的极端情况，因为这些情况的发生在大量的试验中将是小概率事件。但学生没有系统的概率知识，这无法和他们解释。当他们面对自己手中杂乱的10次或40次的试验结果，找不到规律，思考就会遇到障碍。为了帮助学生跳出困境，充分利用已有数据，在课堂上对更多的试验结果进行探索，发现规律，教师可以引导学生将数据累积起来看：10次、20次、40次、160次……再联系历史上数学家的试验数据，并启发他们以抛掷的总次数为“参照物”，用相对的眼光来观察数据，从而发现随机事件的统计规律。这样组织学生体会可能性，更符合概率的思想。
(6)小学生的知识准备不足，认知水平还需提高，因此，小学阶段概率知识的教学，重在体会、领悟，不要求深刻理解。教师切莫在教学中提高要求。
“可能性”的教学是新课标重点加强的内容，对于一线的教育工作者来讲，要熟练驾驭这些知识，要引导学生真正理解这些知识，需要我们不断学习、实践、反思、创新。文中的观点只代表我们现在的思考，不一定正确。小学数学的教材、教法除了应考虑知识的科学性外，还要考虑小学生的可接受性，是一个非常复杂的问题。写此文的目的是希望老师们参与讨论，提出意见，创新实践，相信小学数学中“可能性”的教学终将会 “吹尽黄沙始见金”。
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