求解当x无限接近于0时，(3^x-1)/(1-4^x)的值？答案是-ln3/ln4；我不知道这答案是怎么来的。

Question

(3^x-1)/(1-4^x)的意思是1减去4的x次方为分母，3的x次方减一为分子。
另外还有一道类似的题目：求解当x无限接近于2pi的时候，(1+sin(x))^cot(2x)的值？答案是e的0.5次方；我亦不知它是怎么来的。

谢谢！很急。答得好的话，奖励多多哦！
还有一个问题，就是x^3/(1-x)的Maclaurin Series（麦克劳林级数）？ 要求是答案要写成sigma打头的那种格式的，然后不能有f'(a)或者f''(a)等等类似的符号；只许有x和n之类的字母。非常感谢！如果答得好，重赏！

Answer 1

第一道题，当x无限接近于0时，分子和分母都是零。那这个极限就是‘零分之零型’。可以对分子和分母分别求导。3^x-1导数是ln3,1-4^x的导数是-ln4，所以答案是-ln3/ln4。

第二题同样是如此，它是1的无穷此方型。但是有一个重要极限，就是当x趋零时，1+x的1/x次方等于e
cot2x=cotx/2-1/2cotx=cosx/2sinx-sinx/2cosx

所以(1+sin(x))^cot(2x)的极限为(1+sin(x))^cosx/2sinx-sinx/2cosx。即(1+sin(x))^1/2sinx除以(1+sin(x))^0=(1+sin(x))^sinx的1/2次方=e的0.5次方

希望对你有所帮助

Answer 2

都可以用洛必达法则。

(1)lim(x→0)(3^x-1)/(1-4^x)=lim(x→0)(3^xln3)/(-4^xln4)=-ln3/ln4

(2)令t=x-2π，则原式=lim(t→0)(1+sin(t+2π))^cot(2t+4π)=lim(t→0)(1+sint)^cot(2t)=lim(t→0)e^(cot(2t)ln(1+sint))
由于lim(t→0)cot(2t)ln(1+sint)=lim(t→0)ln(1+sint)/tan(2t)=lim(t→0)[cost/(1+sint)]/[2/cos^2(2t)]=cost/(1+sint)*cos^2(2t)/2=0.5
所以原式=e^0.5

(3)f(x)=(x^3-1+1)/(1-x)=-x^2-x-1+1/(1-x)
f'(x)=-2x-1+1/(1-x)^2
f''(x)=-2+2/(1-x)^3
f^(n)(x)=n!/(1-x)^(n+1) (n>=3)
所以f(0)=0,f'(0)=0,f''(0)=0,f^(n)(0)=n! (n>=3)
所以f(x)=Σ(k=3→∞)x^k追问

留个QQ号吧？还有一些问题。谢谢你！

追答

要问用百度那个私信吧，我还是或多或少有点顾虑的，有点像曹操……

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Answer 3

应用L·Hospital法则
lim（x趋于0）(3^x-1)/(1-4^x)
=lim（x趋于0）(3^x×ln3)/(-ln4*4^x)
=-ln3/ln4

lim（x趋于2pi）(1+sin(x))^cot(2x)
=lim（x趋于2pi）（(1+sin(x))^1/sin2x）^cos2x
=lim（x趋于2pi）（(1+sin(x))^1/2sinxcosx）^cos2x
=lim（x趋于2pi）（(1+sin(x))^1/sinx）^(cos2x/2cosx)
=lim（x趋于2pi）e^(cos2x/2cosx)
=e^(1/2)追问

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Answer 4

用洛必达法则，分子分母同时求导，x趋于0时，lim(3^x-1)/(1-4^x)=lim(3^x*ln3)/(-ln4*4^x)=-ln3/ln4。
第二题(1+sin(x))^cot(2x)=(1+sin(x))^(cos2x/sin2x)=(1+sin(x))^(cos2x/2sinxcosx)=[(1+sin(x))^(1/sinx)]^(cos2x/2cosx)，当x趋于2π时，sinx趋于0，由重要极限(1+x)^(1/x)=e知lim[(1+sin(x))^(1/sinx)=e，而x趋于2π则lim(cos2x/2cosx)=0,5，所以极限=e^0.5