怎么证明一个函数是原函数？

Question

如题所述

Answer 1

1+x=t^2 , x=t^2-1 , dx=2tdt

2dt/(t^2-1)积分=[1/(t-1)-1/(t+1)]dt积分

=ln|t-1|-ln|t+1|+c

=ln|(t-1)/(t+1)+c

=ln|(t^2-2t+1)/(t^2-1)|+c

=ln|[2+x-2√(1+x)]/x|+c

证明

如果f(x)在区间I上有原函数，即有一个函数F(x)使对任意x∈I，都有F'(x)=f(x)，那么对任何常数显然也有[F(x)+C]'=f(x)，即对任何常数C，函数F(x)+C也是f(x)的原函数。

这说明如果f(x)有一个原函数,那么f(x)就有无限多个原函数，设G(x)是f(x)的另一个原函数,即∀x∈I，G'(x)=f(x)，于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。