如何用初等变换化一个非零矩阵为初等矩阵？

Question

如题所述

Answer 1

首先，如果|A|=0或者|B|=0, |AB|=0必然成立，反之依然
所以只要证明AB满秩的情况
首先容易证明：当A或B为初等阵时等式成立；
由于满秩阵都可以由初等阵化来,所以可以写成
A=P1P2P3...PnA0Q1Q2...Qm,其中A0为A的对角化标准阵,易知|A0B|=|A0|*|B|,所以
|AB|=|P1P2P3...PnA0Q1Q2...QmB|
=|P1||P2||P3|...|Pn||A0Q1Q2...QmB|
=|P1||P2||P3|...|Pn||A0||Q1||Q2|...|Qm||B|
=|A||B|
补充：|A0|=|A|,初等阵的行列式=1