二次型可以用正交变换化成标准形吗？

Question

如题所述

Answer 1

是的，二次型可以通过正交变换化为标准形。

首先，二次型可以表示为矩阵形式，即
f(x_1, \ldots, x_n) = x^TAx
f(x
1
​

,…,x
n
​

)=x
T
Ax，其中
A
A是一个对称矩阵。

根据线性代数的理论，一个对称矩阵一定存在正交矩阵
P
P，使得
P^TAP
P
T
AP是对角矩阵
\Lambda
Λ，即
A = P\Lambda P^T
A=PΛP
T
。

因此，将二次型
f(x_1, \ldots, x_n) = x^TAx
f(x
1
​

,…,x
n
​

)=x
T
Ax中的
A
A用
P\Lambda P^T
PΛP
T
替换，得到
f(x_1, \ldots, x_n) = (xP)^T\Lambda(xP)
f(x
1
​

,…,x
n
​

)=(xP)
T
Λ(xP)。这个式子表明，通过将变量
x
x替换为
xP
xP，可以将二次型化为标准形。

需要注意的是，对于一个给定的二次型，可能存在不同的正交矩阵
P
P，使得
A = P\Lambda P^T
A=PΛP
T
成立。因此，对于同一个二次型，可能存在多种不同的标准形。

此外，如果二次型的矩阵A是奇异的（即，它没有完整的非零特征值），则它可能无法通过正交变换化为标准形。例如，形如
x_1^2 - x_2^2
x
1
2
​

−x
2
2
​

的二次型就是这样的例子。

Answer 2

二次型可以用正交变换化成标准形，所化成的标准形中平方项的系数是二次型矩阵的特征值，也可以用一般的合同变换化成标准形，正交变换是特殊的合同变换。正交变换和普通的合同变换几何意义是不同的，正交变换相当于几何中的坐标旋转，因此它不会改变图形的形状，比如x1^2+2x1x2+x2^2=1表示两条直线，用正交变换把左边的二元二次型化成标准形是2y1^2, 在新直角坐标系下曲线的方程是2y1^2=1, 还是两天直线。一般的合同变换化成的标准形不唯一，因此它没有明显的几何意义，如x1^2+4x2^2=1是椭圆，但左边的二次型可用合同变换化成y1^2+y2^2,方程就化成园的方程了。