为什么n阶实对称矩阵可以对角化？有什么性质呢？

Question

如题所述

Answer 1

实对称阵的特征值都是实数，所以n阶阵在实数域中就有n个特征值（包括重数），并且实对称阵的每个特征值的重数和属于它的无关的特征向量的个数是一样的，从而n阶矩阵共有n个无关特征向量，所以可对角化。

判断方阵是否可相似对角化的条件：

(1)充要条件：An可相似对角化的充要条件是：An有n个线性无关的特征向量；

(2)充要条件的另一种形式：An可相似对角化的充要条件是：An的k重特征值满足n-r(λE-A)=k；

(3)充分条件：如果An的n个特征值两两不同，那么An一定可以相似对角化；

(4)充分条件：如果An是实对称矩阵，那么An一定可以相似对角化。

扩展资料

实对称矩阵的主要性质：

1、实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。

2、实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。

3、n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。

4、若λ0具有k重特征值　必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k，其中E为单位矩阵。

参考资料来源：百度百科-实对称矩阵

Answer 2

设s为实对称矩阵A的一个特征值，且x是对应的特征向量
所以Ax = sx
两边同乘x的转置x'得到
x'A x = x'sx = sx'x
显然x'Ax和x'x都是实数（根据矩阵乘法直接可以得到）
所以s=x'Ax /(x'x)是实数
主要性质
1.实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。
2.实对称矩阵A的特征值都是实数。
3.n阶实对称矩阵A必可相似对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。
4.若A具有k重特征值λ0　必有k个线性无关的特征向量，或者说秩r(λ0E-A)必为n-k，其中E为单位矩阵。
5.实对称矩阵A一定可用正交矩阵对角化。