〔高二数学〕已知点 P 是抛物线 y^2=2x 上的一个动点，则点 P 到点 (0,2) 的距离与 P 到该抛物线准线的距

Question

〔高二数学〕已知点 P 是抛物线 y^2=2x 上的一个动点，则点 P 到点 (0,2) 的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为……？

Answer 1

解：由题得2p=2, p/2=1/2 所以，焦点坐标F(1/2, 0)
根据两点之间线段最短：将点(0, 2)与焦点F(1/2, 0)连接相交于抛物线点p
则，P 到点 (0,2) 的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和为最小。
且最小值为：根号下[（0-1/2)²+(2-0)²]=17/4
所以，最小值为：(根号17)/2
证明：在抛物线上任取一点p', 由抛物线定义，P' 到该抛物线准线的距离等于P' 到该抛物线焦点的距离，因为P' 到该抛物线焦点的距离和P'到点(0,2)的距离>=点P、点(0,2)和焦点(1/2,0)在同一线段。所以，点P、点(0,2)和焦点(1/2,0)在同一线段为最短，即所求的最小值=(根号17)/2

Answer 2

3/2