求大佬帮忙看看线代题……A是一个m×n的实矩阵，m＜n，证明A乘A的转置正定当且仅当A的秩＝m

Question

求大佬帮忙看看线代题……A是一个m×n的实矩阵，m＜n，证明A乘A的转置正定当且仅当A的秩＝m求求大佬帮忙……很简单的题我就是不会(╥╯﹏╰╥)

Answer 1

(AAT)T=AAT为对称阵
R(A)=M,存在P,PA=(E,0)
xT(PA)(PAT)Tx=(xPT)TAAT(PTx)
显然有PA正定，故x不为零，又得x不为零！故PTx不为零，所以正定！