已知A是m*n实矩阵，且m小于n，证明A×A转置正定的充要条件是秩A=m

Question

第二道题，画星号的

Answer 1

充分性：设A=(a1^T,...,am^T)^T，由于r(A)=m，a1,...,am线性无关。任取x=(x1,...,xm)^T≠0，则A^Tx=x1a1+...+xmam≠0（否则由线性无关性必有x1=...=xm=0，与x≠0矛盾），因此x^TAA^Tx=(A^Tx)^T(A^Tx)>0。再加上AA^T显然是对称矩阵，所以AA^T正定。

必要性：设A=(a1^T,...,am^T)^T，假设r(A)≠m，则a1,...,am线性相关，存在x=(x1,...,xm)^T≠0使得A^Tx=x1a1+...+xmam=0，此时x^TAA^Tx=(A^Tx)^T(A^Tx)=0，这与AA^T正定矛盾。因此r(A)=m。

Answer 2

如电灯剑客所说，直接用正定的定义证明，看二次型x^TAA^Tx，

如果还有疑问，可思考：
因为R(A)=m,故对任意的X不为0
A^TX也不为0，（想想为什么？）
将二次型x^TAA^Tx改写为(ATx)^T(A^Tx)
就明白了。本回答被网友采纳

Answer 3

直接用正定的定义证明，看二次型x^TAAT^x本回答被提问者采纳