矩阵的秩与矩阵的线性相关性是否一致？

Question

如题所述

Answer 1

是的。

在线代里有一个一般性的结论，若C=AB，则rC≤min(rA,rB)。如果其中B是满秩的，则rC=rA。

把这个关系套用过来，对一个矩阵A做初等变换相当于用一个初等矩阵B与之相乘，结果得到C矩阵，C=AB。初等矩阵是满秩的，C秩与A秩同。

两矩阵同秩，其行秩或列秩当然也是相同的。

常用相关结论：

如果矩阵A经过初等行变换化成B，那么A的列向量组与B的列向量组具有相同的线性相关性。

因为由条件，有可逆矩阵P，使得B＝PA，从而显然，线性方程组Ax＝0与线性方程组Bx=0是同解的。从而A的列向量组与B的列向量组 线性关系一致，线性相关性当然相同，而且不止如此，还有A的列向量组与B的列向量组的秩相等，极大线性无关组相互对应。