罗伊恒等式在微观经济学中扮演着至关重要的角色，它揭示了消费者行为与商品选择之间的内在联系。让我们通过一个具体的例子来深入理解这一概念。假设消费者面对着一个间接效用函数，记为
U(x)，我们想要求解的是商品
x 的马歇尔需求函数，它代表了消费者在给定预算约束下的最优选择。这个求解过程将通过罗伊恒等式来展开。
首先，依据罗伊恒等式，我们有
Marshall demand for x 可以由间接效用函数
U(x) 和价格
p_x 之间的关系导出，即
Marshall demand = -∂U(x)/∂p_x。让我们以一个具体的函数
U(x) = x^2 - 2px 为例，消费者面临的预算约束是
px + qy = M，其中
q 代表商品
y 的价格，
M 是消费者的总收入。
为了找到最优解，我们构建拉格朗日函数，引入拉格朗日乘子
λ。优化问题的关键在于找出
x 和
λ 的值，使得
U(x) 达到最大化。一阶条件如下：
∂L/∂x = 0，其中 L(x, λ) = U(x) - λ(px - M) 是拉格朗日函数。
∂L/∂λ = 0，这代表预算平衡。
求导后得到：
2x - 2p = λ
px = M
由①得到
λ 的表达式，代入②，我们得到最优
x 的值：
x^* = (p + λ)/2现在，将λ的表达式代入，我们得到：
x^* = (p + 2x - 2p)/2 = x - p接下来，我们可以进一步计算
Marshall demand for x，即：
Marshall demand = -∂U(x)/∂p_x = -∂(x^2 - 2px)/∂p_x = 2x - 2p结合①，我们可以简化为：
Marshall demand = λ = 2x^* - 2p再次将
x^* 代入，我们得到：
Marshall demand = 2(x - p) - 2p = 2x - 4p这就是在给定间接效用函数和预算约束下的马歇尔需求，它表明消费者对商品
x 的需求量随着价格的降低而增加，这是微观经济学中关于消费者行为的经典理论。
通过这个例子，我们可以看到罗伊恒等式在实际问题中的应用，它为我们提供了理解消费者决策的重要工具。在微观经济学的世界里，这个等式就像一座桥梁，连接了消费者的选择、价格和效用的微妙平衡。