几种典型的时间序列及序列的运算

Question

如题所述

Answer 1

一个连续时间信号，只要满足采样定理，就可以用离散采样完全代表这个连续时间信号。采样可以通过人工来完成，例如一条几何曲线;也可以本身就是离散信号，例如一组实验数据;还可以通过前面提到过的采样器来完成。一般采样是等时间间隔的，因此采样以后，时间间隔Δt就没有什么重要意义了。采样数据可以存放在计算机的存储器中，随时取用处理，只有在需要将数字信号还原为连续信号时，在数-模转换器中，才有必要重新将它们排列在等时间的间隔上。因此，对于处理离散时间信号来说，采样间隔Δt并没有什么重要意义，可以用时间序列x(n)表示。其中n=t/Δt称为时间信号。用图4-4-1表示。

在数学上，则将时间序列表示成

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x(n)中的n=0，±1，±2，…是整数，表示所在时间序号的采样值。当n<0时，x(n)=0，表示一个因果时间序列。

两个时间序列的和是两个时间序列在同一采样序号的采样值之和组成的序列(图4-4-1，图4-4-2)，例如

图4-4-1 序列表示法(1)

图4-4-2 序列表示法(2)

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两个时间序列的积，则是两个时间序列在同一采样序号的采样值之积组成的序列，例如

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一个时间序列的延时，则是这个时间序列的序号向后顺延的结果组成的序列，例如

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表示时间序列w(n)=x(n-m)是原时间序列x(n)的序号向后移m位所组成的新序列。如图4-4-3(b)所示。

图4-4-3 序列移位

反之，一个时间序列的超前，则是这个时间序号向前顺延的结果所组成的序列，见图4-4-3(c)。

v(n)=x(n+m)={x(0)，x(1)，x(2)，…x(m-1)，x(m)，x(m+1)，…}

1.几种常用的典型时间序列

(1)单位脉冲序列

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见图4-4-4需要说明的是，它与连续信号δ(t)的定义不同:在连续信号中，δ(t)是一种广义函数，它是面积为1的方波当其宽度为零时的一种极限，这时其幅值在t等于零时为无穷;在t≠0时为零，但极限的面积等于1。在采样信号中，因为是理想采样，实际采样总是有一定宽度τ的，所以在理想采样中的脉冲面积实际上是1，所以有式(4-4-1)。它表示一个采样脉冲的面积，是一个有限值。

图4-4-4 δ(n)序列

图4-4-5 u(n)序列

(2)单位阶跃序列

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见图4-4-5。显然，u(n)是一系列δ(n)之和，即

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反之，δ(n)也可以用u(n)表示出来:

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(3)矩形序列

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见图4-4-6，显然，矩形序列

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(4)指数序列

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见图4-4-7，式(4-4-7)亦可写成

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图4-4-6 R(n)序列

图4-4-7 aⁿu(n)序列

当|a≥1|时是发散的，|a|<1时是收敛的，当a为负值时是摆动的，如图4-4-7所示。

(5)正弦序列

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见图4-4-8。其中ω₀为数字频率。因为正弦序列可以认为是正弦信号的采样，即对连

续正弦信号sinΩ₀t的采样，采样后的信号记为sinΩ₀nΔt，于是有

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其中Δt是采样间隔，它是采样频率f_n的倒数，即

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比较等式两端得

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它是模拟频率用采样频率归一化的结果，称为数字频率。与正弦序列相对应，也可以有余弦序列

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在连续信号中，正弦或余弦函数总是周期函数，其周期为

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图4-4-8 sinnω₀序列

但在离散时间序列中，正弦或余弦序列并不一定是周期序列:当序列的频率ω₀为π的倍数时，这个序列是周期的;当序列的频率ω₀不为π的倍数时，则不是周期的。例如，当正弦序列的频率ω₀等于π/4时，根据周期函数的性质，应有

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于是可以得出，这个正弦序列的周期为N=8。如果正弦序列频率ω₀不是π的倍数，例如ω₀等于0.5，则有

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这时N应等于4π，是一个无理数，而一个有理整数不可能等于一个无理数，所以它是非周期序列。

(6)复指数序列

一系列复数组成的序列，称为复序列。复序列的每一个序列值都是一个复数，因而具有实部与虚部两部分。记为

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复序列也可用极坐标表示法，即

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最常用的一种复指数序列是

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它是用极坐标表示复数序列时模值等于1，幅角arg［x(n)］=ω₀n的特例。该序列的实部和虚部分别为

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最后应当指出，任何一个时间序列都可以用单位脉冲序列来表示。因为任一时间序列可表示成

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也就是说，任一时间序列都可以看成是单位脉冲序列的线性组合，这种表达方法对分析线性移不变系统是很有用的。