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设实矩阵A是可逆矩阵,证明A^TA是正定矩阵
如题所述
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推荐答案 2020-05-26
设实矩阵A是正定矩阵,证明:对于任意正整数
Ak也是正定矩阵,
A的特征值是λ
则A^K的特征值是λ^k
(这个是常用结论)
A是正定矩阵
则A所有特征值>0
λ^k>0
所以A^K的特征值也全都大于0
所以
A^k是正定矩阵
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第1个回答 2019-08-24
证:
首先
(a^ta)^t
=
a^t(a^t)^t
=
a^ta
故
a^ta
是对称矩阵.
又对任一非零列向量x
由
r(a)
=
n
知
ax=0
只有零解
所以
ax
≠
0
再由a是实矩阵,
所以
(ax)^t(ax)
>
0
即
x^t(a^ta)x
>
0
所以
a^ta
是正定矩阵.
相似回答
设A为可逆矩阵,
试征;A
TA为正定矩阵
?
答:
证明:对任一n维非零向量X 因为A可逆,所以 AX≠0.所以 X^T(A^TA)X = (AX)^T(AX) > 0 [内积的非负性][这里用到A是
实矩阵
的条件]所以
A^TA是正定
的.,1,
矩阵A可逆,
怎么推出A
TA是正定矩阵
?
答:
(1)
正定矩阵
的行列式恒为正;(2)实对称
矩阵A
正定当且仅当A与单位矩阵合同;(3)若A是正定矩阵,则A的
逆矩阵
也是正定矩阵;(4)两个正定矩阵的和是正定矩阵;(5)正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。
...为什么A的转置
矩阵
乘以A为正定阵.给即
A^TA为正定
答:
(
A^TA
)^T=A^TA,即A^TA是对称矩阵。由于A可逆,可确定│A^TA│=│A│^2>0 运用数学归纳法可得到:A^TA的顺序主子式都大于0,从而A^TA为
正定矩阵
。将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积 ,矩阵的分解法一般有三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解等。
线性代数 二次型
正定
性判定
答:
A为
可逆矩阵
,则A^TA是正定矩阵,本题A的行列式是范德蒙德行列式,其值不为零,故
A可逆
,故A^TA是正定矩阵
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