设实矩阵A是可逆矩阵,证明A^TA是正定矩阵

如题所述

推荐答案 2020-05-26

设实矩阵A是正定矩阵，证明：对于任意正整数
Ak也是正定矩阵,
A的特征值是λ
则A^K的特征值是λ^k
(这个是常用结论)
A是正定矩阵
则A所有特征值>0
λ^k>0
所以A^K的特征值也全都大于0
所以
A^k是正定矩阵

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第1个回答 2019-08-24

证:
首先
(a^ta)^t
=
a^t(a^t)^t
=
a^ta
故
a^ta
是对称矩阵.
又对任一非零列向量x
由
r(a)
=
n
知
ax=0
只有零解
所以
ax
≠
0
再由a是实矩阵,
所以
(ax)^t(ax)
>
0
即
x^t(a^ta)x
>
0
所以
a^ta
是正定矩阵.

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