如图，与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面， .（1）求直线与平面所成的角的大

如图，与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面， .（1）求直线与平面所成的角的大小；（2）求平面与平面所成的二面角的正弦值.

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推荐答案推荐于2016-01-16

，

本题主要考查了考查立体图形的空间感、线面角、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能力和推理能力

解法一：（1）取 CD 中点 O ，连 OB ， OM ，则 OB ⊥ CD ， OM ⊥ CD .
又平面

平面

,则 MO ⊥平面

，所以 MO ∥ AB ， A 、 B 、 O 、 M 共面.延长 AM 、 BO 相交于 E ，则∠ AEB 就是 AM 与平面 BCD 所成的角.
OB = MO =

， MO ∥ AB ，则

，

，所以

，故

.
（2） CE 是平面

与平面

的交线.
由（1）知， O 是 BE 的中点，则 BCED 是菱形.
作 BF ⊥ EC 于 F ，连 AF ，则 AF ⊥ EC ，∠ AFB 就是二面角 A - EC - B 的平面角，设为

.
因为∠ BCE =120°，所以∠ BCF =60°.

，

，

所以，所求二面角的正弦值是

.
解法二：取 CD 中点 O ，连 OB ， OM ，则 OB ⊥ CD ， OM ⊥ CD ，又平面

平面

,则 MO ⊥平面

.
以 O 为原点，直线 OC 、 BO 、 OM 为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系如图.
OB = OM =

，则各点坐标分别为 O （0，0，0）， C （1，0，0）， M （0，0，

）， B （0，-

，0）， A （0，-

，2

），
（1）设直线 AM 与平面 BCD 所成的角为

.
因

（0，

，

），平面

的法向量为

.则有

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