复变函数一道证明题

Question

如图

Answer 1

(1) 令 g(z)=f(1/z)/z, 则g(z)在 0 < |z| <= R 上解析。
且 lim g(z) = a, z -> 0
所以0是g(z)的可去奇点。从而g(z)在0附近有泰勒展开 g(z)=a + a1 z + a2 z^2 + ...
现在 f(1/z)=zg(z), f(z)=g(1/z)/z=a/z + a1/z^2 + a2/z^3 + ...所以a是f在无穷大处的留数，从而积分=2PI i a
(2)太麻烦了，不会。