高中数学竞赛关于多项式的题

Question

假设 p(x) 是一个多项式，系数均为证书. 证明：如果 p(a)=1，a为某一个整数，那么 p(x) 至多有两个整数根
在线等，答出来再追加十分。。

Answer 1

反证法：假设p(x)至少有三个整数根，不妨设为A1，A2,A3.Ai互不相等。又由P（a）=1可设p(x)=(x-a)q(x)+1其中q(x)为整系数多项式
则p(Ai)=0,i=1,2,3 即（Ai-a）q(Ai)=-1故Ai-a=1or-1显然与Ai互不相等矛盾。 补充：严格来说题目应为互不相等的整根。追问

请问为什么q(X)也一定是整系数呢？

追答

由多项式的辗转相除即可知，手机帮你答疑，输入很不方便。其实q(x)为整系数是显然的

Answer 2

若整数b是p(x)的根，则p(b)=0,而p(a)=1,故a≠b,
p(x)是整系数多项式，
∴a-b|p(a)-p(b),即a-b|1,
∴b-a=土1，b=a土1，
∴p(x)最多只有两个整数根

Answer 3

系数均为证书，这是什么意思？