高中数学多项式概念问题

Question

一个多项式的项数和与x轴相交次数有关系吗？
一个n次的多项式最多只能与x轴相交n次，有这个联系吗？
为什么？
谢谢！

Answer 1

多项式f(x)图像与x轴相交次数就是方程f(x) = 0的实根个数.

一元n次多项式至多有n个实根, 这可以用数学归纳法证明.
n = 1时结论显然成立.
假设n = k时结论成立.
对n = k+1, 任取一元n次多项式f(x).
若f(x)无实根, 则结论成立;
若f(x)有实根a, 则存在k次多项式g(x)使f(x) = (x-a)g(x);
根据归纳假设, g(x)至多有k个实根, 从而f(x)至多有k+1个实根, 即n = k+1时结论成立.
由数学归纳法原理, 结论对任意正整数n成立.

以上证明实际上也适用于复根, 即一元n次多项式至多有n个复根.
而代数基本定理保证一元n次多项式在计重数的意义上恰有n个复根,
但不能在高中数学范围内证明.本回答被提问者采纳