由x^2+y^2=2y和y=x围成的积分区域，求x^2+y^2的二重积分

Question

如题所述

Answer 1

解：∵x²+y²=2y与y=x的交点为(0,0)、(1,1)，可知，积分区域D={(x,y)丨y≤x≤√(2y-y²)，0≤y≤1}。
∴原式=∫(0,1)dy∫(y,√(2y-y²))(x²+y²)dx。
设x=rcosθ，y=rsinθ，∴D={(r,θ)丨0≤r≤2sinθ，0≤θ≤π/4}。
∴原式=∫(0,π/4)dθ∫(0,2sinθ)r³dr=∫(0,π/4)4(sinθ)^4dθ=∫(0,π/4)(1-cos2θ)²dθ=……=[3θ/2-sin2θ+(1/8)sin4θ]丨(θ=0,π/4)=3π/8-1。
供参考。

Answer 2

x² + y² = 2y => r = 2sinθ
y = x => θ = π/4
∫∫ (x² + y²) dσ
= ∫(0→π/4) dθ∫(0→2sinθ) r³ dr
= ∫(0→π/4) (1/4)(16sin⁴θ) dθ
= 4∫(0→π/4) [(1 - cos2θ)/2]² dθ
= ∫(0→π/4) (1 - 2cos2θ + cos²2θ) dθ
= ∫(0→π/4) (1 - 2cos2θ) dθ + (1/2)∫(0→π/4) (1 + cos4θ) dθ
= (π/4 - 1) + (1/2)(π/4)
= 3π/8 - 1追问

范围不是π/2到π/4吗

追答

直线y = x表示的角度范围是0到π/4

追问

以及与x轴围成的，呵呵谢了啊

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