如图,点T在⊙O上,延长⊙O的直径AB交TP于P,若PA=18,PT=12,PB=8.

Question

（1）求证：△PTB∽△PAT；
（2）求证：PT为⊙O的切线；
（3）在 上是否存在一点C，使得BT2=8TC？若存在，请证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

证明：（1）在△PTB和△PAT中，

∵PA=18，PT=12，PB=8，

∴PT/PA=PB/PT ，

∴△PTB∽△PAT．

（2）连接OT，

AB=PA－PB=18－8=10，

所以OB-OT=AB/2=5，PO＝13

在△OTP中，TP^2=144，PO^2=169，OT^2=25，

∴TP^2+OT^2=PO^2，

∴OT⊥TP，

∴PT为⊙O的切线．

⑶

在AT弧上存在一点C，使得BT^2=8TC

证明：∵∠ABT 是△PBT的一个外角，∴ ∠ABT>∠P

过点B作BC交AT弧于点C，使∠CBT=∠P

∵ ∠PTB=∠A，∠A=∠C，∴ ∠PTB=∠C，

∴ △PBT∽△BTC，∴ BT/TC=PB/BT

又PB=8，

∴BT^2=8TC，即在AT弧上存在一点C，使得BT^2=8TC

◆本题考查了切线的判定，相似三角形的判定等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．

Answer 2

(1)PA=18，PB=8
所以：直径AB=PA-PB=10
PT/PA=12/18=2/3
PB/PT=8/12=2/3
所以：PT/PA=PB/PT
在△PTB和△PAT中
角P=角P
PT/PA=PB/PT
所以：△PTB∽△PAT （两个三角形两边对应成比例且夹角相等，三角形相似)

(2) 连接OT
因为AB=10
半径OT=5
OP=OB+PB=13
则OP²=OT²+PT²
所以三角形POT为直角三角形。
所以：角PTO=90°
所以OT⊥PT
所以：PT为⊙O的切线。

(3)在？？？上是否存在一点C，请补充题目本回答被提问者采纳

Answer 3

连接OT
PA=18,PT=12,PB=8.
AB=PA-PB=18-8=10
AB=2R=10
R=5
PO=PB+R=8+5=13
PA=12
△POT PO²=13²=169
PT²=12²=144
R²=5²=25
169=144+25
所以PO²=R²+PT² △POT为RT△
角ATB=90° = 角A+角ABT 角OTP=90° = 角OTB+角BTP
OB=OT 所以叫 角ABT=角OTB
角A+角ABT =角OTB+角BTP
角ABT=角OTB
所以 角A=角BTP
角P为△PTB和△PAT的公共角 所以△PTB和△PAT三个角都相等 所以：△PTB∽△PAT

PO²=R²+PT² △POT为RT△
所以OR垂直于PT PT为⊙O的切线；

第三个BT2=8TC？是什么