如图， 和 所在平面互相垂直，且 ， ，E、F分别为AC、DC的中点.（1）求证： ；（2）求二面角 的正
如图， 和 所在平面互相垂直，且 ， ，E、F分别为AC、DC的中点.（1）求证： ；（2）求二面角 的正弦值.
（1）详见解析；（2）  . |
| 试题分析：（1）（方法一）过E作EO⊥BC，垂足为O，连OF，由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC，所以∠EOC=∠FOC=  ，即FO⊥BC，又EO⊥BC，因此BC⊥面EFO，即可证明EF⊥BC.（方法二）由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B左垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 易得  ,所以 ，因此 ,从而得 ；（2） （方法一）在图1中，过O作OG⊥BF，垂足为G，连EG，由平面ABC⊥平面BDC，从而EO⊥平面BDC，从而EO⊥面BDC，又OG⊥BF，由三垂线定理知EG垂直BF，因此∠EGO为二面角E-BF-C的平面角；在△EOC中，EO= EC= BC·cos30°= ，由△BGO∽△BFC知， ,因此tan∠EGO= ,从而sin∠EGO= ，即可求出二面角E-BF-C的正弦值.（方法二）在图2中，平面BFC的一个法向量为  ，设平面BEF的法向量 ，又,由 得其中一个 ，设二面角E-BF-C的大小为 ，且由题意知 为锐角，则 ，因此sin∠EGO= ，即可求出二面角E-BF-C的正弦值.（1）证明： （方法一）过E作EO⊥BC，垂足为O，连OF，  由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC，所以∠EOC=∠FOC= ，即FO⊥BC，又EO⊥BC，因此BC⊥面EFO， 又EF  面EFO，所以EF⊥BC.（方法二）由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B左垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.  易得B（0,0,0），A(0，-1，  ),D( ,-1,0)，C(0,2,0),因而 ,所以 ，因此 ,从而 ，所以 .（2）（方法一）在图1中，过O作OG⊥BF，垂足为G，连EG，由平面ABC⊥平面BDC，从而EO⊥平面BDC，从而EO⊥面BDC，又OG⊥BF，由三垂线定理知EG垂直BF. 因此∠EGO为二面角E-BF-C的平面角； 在△EOC中，EO= EC= BC·cos30°= ，由△BGO∽△BFC知， ,因此tan∠EGO= ,从而sin∠EGO= ，即二面角E-BF-C的正
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