先将f(t)从1到x积分,得到
∫(1,x)f(t)dt=∫(1,x)1/t^2 dt=-1/t|(1,x)=1-1/x
=1+1/[1-(x+1)]=1+∑(n=0,∞)(x+1)^n.
即
∫(1,x)f(t)dt=1+∑(n=0,∞)(x+1)^n. ①
①式两边同时对x求导,得
f(x)=∑(n=1,∞) n(x+1)^(n-1), x∈(0,2).
注:最后的展开式成立范围x∈(0,2)由解不等式 |x+1|<1得到,而之所以解不等式|x+1|<1,是因为利用了展开式
1/[1-(x+1)] =∑(n=0,∞)(x+1)^n,
而该展开式成立的范围是|x+1|<1.
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