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A是n阶正交正定矩阵
如何证明
n阶矩阵A
即
是正交矩阵
又
是正定矩阵
当且仅当
A为
单位矩阵?
答:
如果A既是
正交矩阵
也是
正定矩阵
,则A=A'=A逆,所以A^2=E,A的特征值是1或-1。又A正定,特征值都是正的,所以A的特征值都是1。所以A相似于对角矩阵diang(a1,a2,...,an),a1,a2,...,an是A的特征值,都是1,所以A相似于单位矩阵,所以A是单位矩阵 ...
如何证明
n阶矩阵A
即
是正交矩阵
又
是正定矩阵
当且仅当
A为
单位矩阵
答:
简单计算一下,答案如图所示
n阶矩阵A
既
是正交矩阵
又
是正定矩阵
证明
A是
单位矩阵?
答:
楼上的想法不对吧,你只说明了
矩阵A
是一个对角矩阵,并且可能是单位阵的倍数,不能说明A是单位阵,要说明单位阵,除了说明:“
正交矩阵
表明A^(-1)=A',正定矩阵表明A合同于E,即A=C'EC,所以A^(-1)=A'=(C'EC)'=C'EC=A,故A为一对角矩阵”,还要加上:“由于A是正交矩阵,故|A|=1,因此A是...
若
n阶
方程A既
是正定矩阵
,又
是正交矩阵
,证明:
A是
单位矩阵
答:
QtMQQtMQ=E QQtMMQQt=QEQt=E M平方=E 又因为M是对角
矩阵
所以M的对角线元素的绝对值必须是1 又因为A正定 所以M的对角线元素(就是A的特征值)必须大于0 所以M=E 从而A=E
设
A是n阶正定矩阵
,求证:存在n阶可逆矩阵P使得A=PtP
答:
A是n阶正定矩阵
。∴A的特征值全部是正数:λ1,λ2,……λn 存在
正交矩阵
Q [Q^﹙-1﹚=Q'] 使Q'AQ=diag﹙λ1,λ2,……λn﹚而diag﹙λ1,λ2,……λn﹚=diag﹙√λ1,√λ2,……√λn﹚×diag﹙√λ1,√λ2,……√λn﹚A=Qdiag﹙λ1,λ2,……λn﹚Q'...
设
A为n阶正定矩阵
,证明A+E的行列式大于1.
答:
【答案】:∵
A正定
,存在
正交
阵Q,使得QTAQ=diag(λ1,…,λ
n
)其中λi是A的特征值,且λi>0(i=1,2,…,n),则QT(A+E)Q=QTAQ+QTQ=diag(λ1,…,λn)+E=diag(λ1+1,…,λn+1)两边取行列式|QT||A+E||Q|=|A+E||QTQ|=(λ1+1)…(λn+1)即|A+E|=(λ1+1)…(...
正定矩阵
答:
设
A为n阶正定矩阵
,因此A可以由
正交
相似变换为对角阵,其中对角阵主对角线上元素为A的特征值,这些特征值都是正数(A是正定阵嘛,教材中都由这个结果的:正定阵的特征值都为正数)即,存在正交阵P,使得 P(-1)×A×P=对角阵K 注意:正交阵P有性质:转置P(T)= 逆矩阵P(-1)对角阵K=对角阵1...
正定
且
正交矩阵
有哪些重要的数学性质?
答:
7. 范数的性质:对于一个
n阶
正定且
正交矩阵
A,其Frobenius范数||A||_F满足||A||_F = sqrt(tr(A^T * A)) = sqrt(tr(A)^2) = |A|。这个性质可以通过特征值的性质推导得到,并且对于
正定矩阵
来说,Frobenius范数就是其行列式的平方根。总之,正定且正交矩阵具有许多重要的数学性质,包括正定...
若
A是N阶正定矩阵
,则A的奇异值与特征值相同?怎么证明?
答:
确实是充要条件。
正定矩阵
是对称阵所以所有特征值为实数,a=t'dt,t
为正交
阵,d为对角阵,对角线元素即特征值,为实数。全正则正定;正定则全正。
线性代数问题
答:
A为n阶正定矩阵
又是
正交矩阵
,为什么A^2 =I?正交矩阵本来就有A^2=I 设A为三阶方阵,A的秩为2,如果题目里面已经有告诉特征值是-1 和-2 能推出第三个特征值=0否?设三
阶矩阵
A的特征值为2,1,0 非零矩阵B满足BA=O,则r(B)=?A的秩为2的话,直接就说明有特征值为零 r(B)<=1...
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