n阶实对称矩阵A为正定矩阵的充要条件为什么是A逆为正定矩阵，请大家指教，我要过程

Question

如题所述

Answer 1

先来一些必要的陈述，说明实对称矩阵A的逆矩阵也是实对称矩阵，进而能讨论正定的问题。

[A^(-1)]^T=[A^T]^(-1)=A^(-1)
所以A的逆矩阵也是实对称阵。

接下来正式开始证明：

可以从特征值的角度来看。
必要性：

如果n阶实对称矩阵A为正定矩阵，那么A的正惯性指数为n，即A的所有特征值x1,x2,...,xn都大于0。由于A的特征值没有0，所以A可逆，且A的逆的特征值为1/x1,1/x2,...,1/xn。显然A的逆的特征值也都大于0，故A的逆也正定。

充分性：（和必要性证法类似）
如果A的逆矩阵为正定矩阵，那么它的正惯性指数为n，即A的逆的所有特征值x1,x2,...,xn都大于0。A的特征值为1/x1,1/x2,...,1/xn。显然A的特征值也都大于0，故A正定。