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幂等矩阵一定可以对角化吗
如何证明
幂等矩阵一定
课
对角化
?要求不用若尔当标准型证明。
答:
A^2=A说明A的特征值
一定
是0或者1,然后只需证明rank(A)+rank(A-I)=rank(I)对于最后一个等式,用块初等变换去算下面
矩阵
的秩即可 A 0 0 A-I
幂等矩阵
的应用有哪些
答:
幂等矩阵
(idempotent matrix)若A为方阵,且A^2=A,则A称为幂等矩阵。幂等矩阵的主要性质:1.其特征值只可能是0,1。2.
可对角化
。3.其伴随矩阵和转置矩阵仍为幂等矩阵。4.其K次幂也是幂等矩阵。5.其迹等于其秩。6.同阶可交换的幂等矩阵的和是幂等矩阵。7.可逆的幂等矩阵为单位矩阵。
矩阵的相似:等
幂矩阵
答:
证明3中,我们直接解出特征值为 [公式] 或 [公式],并利用若尔当标准型理论,通过 [公式] 的形式,我们发现 [公式] 的若当型为 [公式]。证明4中,我们通过极小多项式,证明矩阵 [公式]
可对角化
,进一步强调了
幂等矩阵
的性质。以上四种方法展示了解决等幂矩阵问题的不同角度,每个证明都提供了对...
幂等矩阵
的幂等矩阵概述
答:
进一步,
幂等矩阵
的不变性扩展到矩阵变换上。任何可逆矩阵T的逆T^(-1)与A相乘后,其结果T^(-1)·A·T依然保持幂等,这是矩阵运算中的重要性质。由于这些特性,幂等矩阵在向量空间的分析中扮演了关键角色。它们可用于对
可对角化
矩阵进行分解,同时在
投影
操作中作为一种有用的工具。在符号表示中,AT...
证明
幂等矩阵可对角化
为什么由A(A
答:
(1)A是n阶实对称
幂等矩阵
,故A的特征值只能是0和1 故存在正交矩阵Q,使得(Q-1)AQ=diag(1,1,……,1,0,……,0) (2)设特征值1是r重,0是n-r重, 则矩阵A-2I有r重特征值1-2=-1,n-r重特征值0-2=-2 所以det(A-2I)=(-1)^n*2^(n-r)
可交换
矩阵可
交换矩阵的一些性质
答:
+ B - AB仍然是
幂等矩阵
。幂幺矩阵A和B的乘积AB也保持幂幺性,这意味着它们的幂运算具有特定的性质。幂零矩阵A和B的乘积AB以及它们的和A + B,无论在何种情况下,都将保持为幂零矩阵。最后,如果矩阵A和B是可交换的,一个重要的结论是它们可以同时被
对角化
,这是矩阵理论中的一个关键定理。
幂等矩阵幂等矩阵
概述
答:
3.
幂等矩阵
的这个特性也扩展到矩阵变换上,即对于任何可逆矩阵T,其逆T^(-1)乘以A再乘以T,结果依然保持幂等性;4. 更有趣的是,幂等矩阵的任意次幂仍保持幂等性。幂等矩阵的重要性在于它们在数学分析中所展现的对称性和稳定性,特别是在对
可对角化
矩阵进行分解的过程中,它们起着关键作用。同时,...
怎么求
矩阵
的高次幂
答:
2、如果你要求的是能够相似
对角化
的
矩阵
的高次幂的话,是存在简便算法的。设要求矩阵A的n次幂,且A=Q^(-1)*Λ*Q,其中Q为可逆阵,Λ为对角阵。即:A可以相似对角化。那么此时,有求幂公式:A^n=Q^(-1)*(Λ)^n*Q,而对角阵求n次方,只需要每个对角元素变为n次方即可,这样
就可以
快速求出...
证明
幂等矩阵可对角化
答:
对diag{A,A-I}做块初等变换
可以化
到diag{0,I}, 所以rank(A)+rank(A-I)=rank(I)=n 然后A的特征值只能是0,1, 几何重数看相应的rank
设A为
幂等矩阵
,证明:A+E和E-2A是可逆矩阵,并求其逆
答:
条件是A^2-A=0,做一下带余除法,A^2+A-2A-2E=(A+E)(A-2E)=-2E,这样逆
矩阵
也显然了 另一种方法是从A^2-A=0推出A的特征值只能是0或1,那么A+E的特征值非零,从而可逆,不过如果用这种方法求逆的话还需要验证A
可对角化
,相对麻烦些 ...
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