一元二次方程根与系数的关系

Question

方程2x^2-5,x+3n=0两根之比为2比3，而方程x^2-2nx+8m=0两根相等（m n是不为0的实数）求证：k为任何实数时，方程mx^2+(n+k-1)x+(k+1)=0恒有实根。
2x^2-5mx+3n=0

Answer 1

由韦达定理
x^2-2nx+8m=0的
2个根的和等于2n
因为2个根相等
所以一个根的值为n
把x=n带入方程x^2-2nx+8m=0
得：n^2-2n^2+8m=0
n^2=8m
同理可得
2x^2-5mx+3n=0
两根为X1=m X2=3m/2
把X1=m X2=3m/2带如方程2x^2-5mx+3n=0中
得：2m^2-5m^2+3n=0 2(3m/2)^2-5m*3m/2+3n=0
2个方程化简都得 m^2=n
根据：①n^2=8m
②m^2=n
可以解得 n=4 m=2
把 n=4 m=2 带入方程 mx^2+(n+k-1)x+k+1=0 中
得2x^2+(4+k-1)x+k+1=0
2x^2+(3+k)x+(k+1)=0
因为恒有实数根
所以：（3+k）^2-4*2*(k+1)
=9+6k+k^2-8k-8
= k^2-2k+1
= (k-1)^2
因为对于任何实数k,(k-1)^2≥0

所以方程恒有实数根

Answer 2

2x^2-5mx+3n=0假设两个根x1=2t,x2=3t
2(x-2t)(x-3t)=0
2x^2-10tx+12t^2=2x^2-5mx+3n
比较系数t=m/2,3n=12t^2
n=m^2
x^2-2nx+8m=0两根相等
x1=x2=n=m^2,x1x2=n^2=8m,m=2
n=m^2=4
mx^2+(n+k-1)x+(k+1)=0
2x^2+(k+3)x+k+1=0
判别：(k+3)^2-2*4(k+1)
=(k-1)^2
>=0
方程恒有实数根

Answer 3

一元二次方程根与系数的关系是什么