有限覆盖定理证明连续函数的一致性定理

Question

如题所述

Answer 1

反证法：假定连续函数f(x）有f(a)>0>f(b);(a>b),且对任意的x属于[b，a]，有f(x)不为0。由f(x)的连续性，对任意的x0属于[b，a]，存在邻域s(x0)使f(x)在s(x0）同号，当x0取遍[b，a]中所有值时，所有的s(x0）是[b，a]的一个开覆盖，由有限覆盖定理，存在有限个邻域s(x1），s(x2），.....s(xn）使它们的并集包含[b，a]。自然地这些邻域中有i,j使a属于s(xi），b属于s(xj），从而f(x)在这两个邻域反号；又s(xi）与s(xj）是经由上述s(x1），s(x2），.....s(xn）中其他不反号的邻域连在一起的，从而f(x)在它们的符号相同。这是一个矛盾,故f(x)在[b,a]上有零点。