用有限覆盖定理证明连续函数的最值定理

Question

如题所述

Answer 1

函数f(x)，区间[a,b]，f(x)在区间上的上确界为M，下证存在一点h使得f(h)=M

反证：如结论不成立，则对任意一点z，都有f(z)<M。由连续函数的保号性，存在z的一个邻域Oz，使得Oz内的点的函数值都小于M-ez，其中ez=（M-f(z))/2，所有的Oz构成[a,b]的一个开覆盖，由闭区间上的有限覆盖定理，存在有限个邻域仍然覆盖[a,b]，记这有限个覆盖为Oz1,Oz2,...Ozn，则[a,b]内任一点 y 必属于某个Ozk，
f(y)<M-ezk<N=Max{f(z1),f(z2),...,f(zn))<M，
这样f(x)在[a,b]上的上确界就<=N，从而小于M，这与M是上确界矛盾。

Answer 2

若f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，U=sup{f(x)}，那么把区间二等分之后至少有一个闭区间以为上确界，如此一直等分下去得到一个闭区间套，其交集为单点集，记t属于这组闭区间套的交，那么f(t)=U。