有界函数与无穷小的乘积为什么是无穷小？

Question

如题所述

Answer 1

有界函数与无穷小的乘积为无穷小。

设数列Xn有界，Yn极限为0，求证：XnYn的极限为0。

证明：

因为数列{Xn}有界。

所以不妨假设|Xn|0)。

因为数列{Yn}的极限是0。

则对于任意给出的e，总存在N，使得n>N时，|Yn|N的时候|XnYn|=|Xn||Yn|。

相关概念：

设函数f(x)是某一个实数集A上有定义，如果存在正数M 对于一切X∈A都有不等式|f(x)|≤M的则称函数f(x)在A上有界，如果不存在这样定义的正数M则称函数f(x)在A上无界，设f为定义在D上的函数，若存在数M（L），使得对每一个x∈D有： ƒ(x)≤M（ƒ(x)≥L）则称ƒ在D上有上（下）界的函数，M（L）称为ƒ在D上的一个上（下）界。