求高手给出(x^n-1)在复数范围内的因式分解，并给出推导过程

Question

如题所述

Answer 1

首先，复数域上很简单，记t=2pi/n，那么
x^n-1=(x-1)(x-exp(i*t))(x-exp(i*2t))...(x-exp(i*(n-1)t))

将上面的共轭虚根放在一起就得到实数域上的分解：
n是奇数时 x^n-1=(x-1)(x^2-2cos(t)x+1)(x^2-2cos(2t)x+1)...(x^2-2cos((n-1)t/2)x+1)
n是偶数时 x^n-1=(x-1)(x^2-2cos(t)x+1)(x^2-2cos(2t)x+1)...(x^2-2cos((n/2-1)t)x+1)(x+1)

注意：任何一元实系数多项式都能够分解成一次和两次实系数多项式的乘积，即使有时候这种分解的系数不能通过基本的运算给出表达式。

参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/120395785.html