设A，B，C均为n阶方阵，且满足ABAC=E，其中E为n阶单位矩阵，则（ ）A．ATBTATCT=EB．A2B2A2C2=EC．BA2

Question

设A，B，C均为n阶方阵，且满足ABAC=E，其中E为n阶单位矩阵，则（　　）A．ATBTATCT=EB．A2B2A2C2=EC．BA2C=ED．CA2B=E

Answer 1

对于A选项：
把ABAC=E两边同时转置，得：C^TA^TB^TA^T=E，
则：C^T与A^TB^TA^T互为逆矩阵，
从而：A^TB^TA^TC^T=E．
故A正确．
对于B选项：
一般情况下：（ABAC）²≠A²B²A²C²≠E²=E，
所以B不正确．
对于C选项：
BAAC=BA（AC），且AC=（AB）^-1，
所以若：（BA）（AB）^-1=E，
则需BA=AB，这并不一定成立，
所以C不正确．
对于D选项：
CAAB=CA（AB），且AB=（AC）^-1，
所以若：（CA）（AB）=（CA）（AC）^-1=E，
则要求AC=CA，这不成立，
所以D错误．
故应选A．