实对称矩阵为正定矩阵的充要条件为什么是与单位矩阵合同

Question

如题所述

Answer 1

证明：假设实对称阵A是正定阵，
则A的特征值{a1,a2,..,an}都是正的，
而实对称阵是正交相似于对角阵diag(a1,..,an)，
即有正交阵P使得
A=P'diag(a1,a2,..,an)P
=P'diag(√a1,√a2,...,√an)·diag(√a1,√a2,...,√an)P
记Q=diag(√a1,√a2,...,√an)P，则
A=Q'Q，即A与单位阵合同
反之若A与单位阵合同，即存在可逆阵S，使得
设A=S'S。则对任意非零向量x，有x'Ax=x'S'Sx=(Sx)'(Sx)>0
∴A是正定的

Answer 2

充分性直接按正定的定义验证
必要性可以用Gauss消去法构造出Cholesky分解A=LL^T本回答被提问者采纳