设A是3×3矩阵，且秩R（A）=2，而B可逆，则R（BA）=______需要详解谢谢

Question

如题所述

Answer 1

R(AB)=2哦
因为A是可逆的 所以A可以表示成N个初等方阵的乘积
然后初等变换不会改变矩阵的秩
以上都是书上的基本定义
所以R(AB)=R（B）=2
满意请采纳追问

为什么可逆可看成n个初等方阵的乘积阿

追答

这是书上的基本定义有证明的
大概是这样
A可以由单位阵经过有限次初等变换来得到，行变换相当于左边乘以初等矩阵，列变换相当于右乘一个初等矩阵，这样一个可逆矩阵就可以由一系列初等矩阵乘积来表示。

初等矩阵是可逆的，初等阵的逆阵也是初等阵，Pt...P2P1A = E 变形为A表示为若干（t个）初等矩阵的乘积！
再分析即得到定理：如果A是n阶方阵，它是可逆方阵的充要条件是A必可以表示为一些初等矩阵的乘积！

Answer 2

首先，R(AB) <= R(A), 因为AB里的每一列都是A的列的线性组合，也就是说，不会升秩。
如果 R(AB) < R(A), 比如 R(A)-k，那 AB乘上B的逆，也就是A，秩当然是R(A)，这是不可能的，因为不会升秩。
所以，R(AB）= R(A)