如图所示，设M是三角形ABC的重心，过M的直线分别交边AB、AC于P、Q两垫，且AP/PB=mAQ/QC=n则1/m+1/n=?

Question

如图所示，设M是三角形ABC的重心，过M的直线分别交边AB、AC于P、Q两垫，且AP/PB=mAQ/QC=n则1/m+1/n=?
看了一楼的答案，这是初中的题吗？

Answer 1

设三角形A点坐标(x1，y1)，B点坐标(x2，y2)，C点坐标(x3，y3)
以三角形重心为原点建立直角坐标系，则M点坐标是(0,0)
根据题意可设过M点的一条直线为x轴。
根据重心公式可得
x1+x2+x3=0
y1+y2+y3=0
∵P在x轴上
∴P点纵坐标是0
AB所在直线的斜率是k1=(y1-y2)/(x1-x2)
根据直线的点斜式方程可得AB所在直线的方程是 y-y1={(y1-y2)/(x1-x2)}/(x-x1)
整理得
x=(y1*x2-y2*x1)/(y1-y2)
∵P在AB上
∴P点的横坐标是x=(y1*x2-y2*x1)/(y1-y2)
AP=根号{y1²+(x1-(y1*x2-y2*x1)/(y1-y2))²}
整理得AB=y1/(y1-y2)根号{(y1-y2)²+(x1-x2)²}
∵AB=根号{(y1-y2)²+(x1-x2)²}
∴PB=AB-AP=-y2/(y1-y2)根号{(y1-y2)²+(x1-x2)²}
∴1/m=PB/AP=-y2/y1
同理可得1/n=-y3/y1
∴1/m+1/n=-(y2+y3)/y1
∵y1+y2+y3=0
∴y1=-(y2+y3)
∴1/m+1/n=1

Answer 2

解：分别过点B，C作BE∥AD，CF∥AD，交PQ于点E，F，则ME=MF，
则根据梯形的中位线定理得：
∵MD是梯形的中位线，
∴BE+CF=2MD，
接着相似一下，再相加很快就可以得出结论了，记住要用到重心定理AM=2DM

Answer 3

解：分别过点B，C作BE∥AD，CF∥AD，交PQ于点E，F，则ME=MF，
则根据梯形的中位线定理得：
∵MD是梯形的中位线，
∴BE+CF=2MD，
∴1m+1n=PBAP+
CQAQ=BEAM+CFAM=BE+CFAM=2MDAM=1．