2009年天津市高考数学题文10,不少学生束手无策,理科生看了也觉得不好下手,题目如下,现提供如下7种解法:
(2009天津文10)设函数f(x)在R上的导函数为f(x),且2f(x)+xf(x)>x2,下面的不等式在R上恒成立的是()
A.f(x)>0B.f(x)<0
C.f(x)>xD.f(x)
解法1:做“合乎逻辑”的估计、猜想
∵x2≥0非负!
∴由已知2f(x)+xf(x)>0恒成立
估计f(x)>0的胜率大于f(x)<0的胜率→排除B,进而排除D。
若f(x)>x成立,x∈R,其中x<0的亦成立。
则f(x)会出现负值,同上道理排除C,故选A。
解法2:类似法1,考查另一项xf(x)
估计xf(x)>0的胜率大于xf(x)<0的胜率
此时x与f(x)同号,即x>0时,f(x)>0;x<0时,f(x)<0
故,x=0是f(x)唯一的极小值点,也是最小值点。
而2f(0)+0>0即f(0)>0
∴f(x)>0,故选A。
点评:以上估计,猜想“合情”,是否“合理”?理应严格论证。但作为“四选一”的选择题在“全体判断”的大前提作用下,不合情的必错,合情的胜率高。加之有正确命题保证:“对一般成立,则对特殊必成立”——真命题,其逆否命题:“对特殊不成立,对一般必不成立”——真命题。这样的正确逻辑关系帮助我们省时、省力地选择对错,太诱人了。
解法3:特殊值法代入验证
∵2f(0)+0>0即f(0)>0
∴排除B、D
∵f(x)在R上可导,必连续
若f(x)>x成立,x>0时f(x)>0成立,这与唯一正确选项矛盾
∴f(x)>x不成立
(f(x)>0成立,不能保证f(x)>x成立),故选A。
解法4:判断连续函数f(x)无零点+f(0)>0→f(x)>0
∵f(x)在R上可导
∴f(x)在R上连续
∵x2≥0
∴2f(x)+xf(x)>0……①在R上恒成立,f(0)>0
假设f(x)有零点xi,即f(xi)=0,代入①,则xif(xi)>0……②
讨论②,xi>0,则f(xi)>0;xi<0,则f(xi)<0
故此,f(x)在xi>0时递增,f(x)在xi<0时递减,f(x)的零点xi=0是唯一的极小值点也是最小值点,其最小值f(xi)=f(0)=0,这与f(0)>0矛盾。
∴f(x)>0,选A。
点评:①xi是定值,此处怎么视为变量了?答曰:你可以想象一下(毕竟xi是任意一个零点),若xi动起来,函数f(x)的零点既是极小值点也是最小值点的特性显露无遗,立即显出矛盾。可以如此猜想、分析。
②以上解法省时、省力,为考试争得时间,其锻炼人思维敏捷性的长处不可小视,它能促进你做“合乎逻辑的思考”。
解法5:构造辅助函数
令f(x)=x2+m(m∈R),则2f(x)+xf(x)=2x2+2m+2x2>x2恒成立
∴唯有m>0,此时显然可排除B、D。又f(x)-x=x2-x+m>0在R上恒成立←→=1-4m<0,故当m≤时,C不成立,可见对此f(x),B、C、D均不真,故选A。
解法6:构造函数F(x)=x2f(x),则F(x)=2xf(x)+x2f(x)
当x≠0时,题设不等式化为>x2
当x<0时,F(x)
当x>0时,F(x)>x3>0,F(x)为增函数
于是,F(x)仅在x=0时有最小值F(0)=0,即有F(x)=x2f(x)≥0,于是当x≠0时有f(x)≥0,由已知x=0时有2f(0)+0·f(0)>02,故f(0)>0。若存在x0≠0,f(x0)=0,则f(x0)=x02f(x0)=0,这与F(x)仅在x=0时有F(0)=0不符,所以f(x)>0恒成立。
解法7:令x=0,得2f(0)+0>0,故f(0)>0
当x>0时,有2xf(x)+x2f(x)>x3,[x2f(x)]>x3
[x2f(x)-]>0
故x2f(x)-在[0,+∞)↑,x2f(x)->02·f(0)-=0
即f(x)>>0
当x<0时,有2xf(x)+x2f(x)
故x2f(x)->02·f(0)-=0,即f(x)>>0
综上,对x∈R均有f(x)>0,选A。
总评:一道高考文科选择题引来那么多想法,足见其有数学教育价值和思维价值。以上解法是众名家巧思妙解的汇集。此题若改成证明f(x)>0,则唯有法6、法7可用,深思一下,法6、法7都构造了函数(此函数来自题设条件的变形),皆灵活运用了导数工具来研究函数单调性、最值,分类讨论的思想也清晰体现在解题中。作为选择题,法5的构造特殊函数恰到好处。那些热衷题海的同学,不如找一些典型题深抠一下。能做到举一反三的同学,你的认识已经开始实现了“从量变到质变”的飞跃。
参考资料:
http://sx.zxxk.com/Article/81266.html