设A，B为n阶矩阵，以下命题：①A与B等价；②A与B相似；③A，B的行向量组等价；有（ ）A．①?②?③B．

Question

如题所述

Answer 1

由相似的定义，知“A与B相似”，则存在可逆矩阵P，使得B=P-1AP
根据初等变换与矩阵乘法的关系，知
AP相当于对A施行了初等列变换；P-1AP相当于对AP施行了初等行变换，而初等变换前后的矩阵是等价的
因而A与B相似?A与B等价，即②?①
故A错误；
若A与B等价，则存在可逆矩阵P，Q使得
PAQ=B
而A的行向量组与B的行向量组等价，则存在可逆矩阵P使得
PA=B
两者的区别是：一个是用初等变换“行和列变换；”，一个是只用初等行变换．
所以，若A的行向量组与B的行向量组等价，则矩阵A和B等价（此时Q=E）．
但反之不对．
即③?①
故B错误；
又A，B的行向量组等价，即存在可逆矩阵P使得
PA=B
不能得出A与B相似（B=P-1AP）
故C错误；
故选：D．

Answer 2

a,b相似即存在可逆矩阵p,
使p^(-1)ap=b.
所以|b|=|p^(-1)ap|=|p|^(-1)*|a|*|p|=|a|,
所以(a)正确.
多说一点的话,
可以类似证明相似矩阵的特征多项式相等|入i
-
a|=|入i
-
b|.
所以相似矩阵有相同的特征值.
但是特征向量一般不同.
例如bx=入x,
也就是p^(-1)apx=入x,
左乘p得到apx=入px.
所以b的特征向量x其实对应到a的特征向量px,
而x自身一般不再是a的特征向量.
反例就不举了,
总之(b)的后半是不对的.
(c)直接移项就是a=b,
完全没道理.
取个行列式还差不多.
(d)是说a,b都能对角化,
这个未必成立,
因为我们知道不能对角化的矩阵是存在的,
但这些矩阵照样可以与别的矩阵相似.
不过以下命题是成立的:
如果a,b相似且a可对角化,
那么b也可对角化.