设G是群,o是G到G上的同态映射,核为N,若H是G的子群,那么o1(o(H))=?

Question

如题所述

Answer 1

假设G是A_5的子群。如果|G|=15，那么Sylow定理可以推出G是循环群（这个比|G|=20的情况简单，我就不细说了），但A_5中没有15阶元，矛盾。如果|G|=20，那么G有唯一的Sylow
5-子群，记成H，它是G的正规子群。因为5是质数，所以H同构于Z/5Z。那么G中其余的元素都以共轭的方式作用在H上。从H=Z/5Z到自身的群同构有多少个（这里记得Z/5Z是那个加法群，请忘掉Z/5Z里的乘法）？一共4个，它们都把0映成0，并且分别把1映成1，2，3，4。把1映成1的那个同态记成a_1，把1映成2的那个记成a_2，类似有a_3和a_4。这里，比如说a_3，它把1映成3，然后又是Z/5Z到Z/5Z的群同态，所以a_3就把Z/5Z里的所有元素都乘3。那么(a_2)^2就把1映成4（先成1变成2，再乘2变成4），所以(a_2)^2
=
a_4；类似(a_3)^2=a_4，(a_4)^2=a_1=id，其中id是Z/5Z到Z/5Z的恒同映射。由a_1=id，a_2，a_3和a_4组成的这个群记成Aut(H)，它是H到H的所有自同构所组成的群，这里H是Z/5Z，而按上文所证，Aut(H)同构于Z/4Z（以a_2或者a_3为生成元）。现在看G（就是这个20阶群）的一个Sylow
2-子群，记成P，它是4阶的（按Sylow定理，G的这样的子群可能有1个，也可能有5个，不过无所谓）。P在H上有一个共轭作用（因为H是G的正规子群），P中一个元素p把H中一个元素h映成ph
p^(-1)。把h映成ph
p^(-1)，这是从H到H的一个群同构（证明它是可逆的群同态），也就是Aut(H)里的一个元素，这个元素是由p决定的。这给出了从P到Aut(H)的一个群同态，这个群同态的核是1，因为A_5中的5阶元与任何非5阶元都不交换（试证之，并证明由此可以推出上面那个群同态的核是1）。现在P和Aut(H)都是4阶的，因此P和Aut(H)同构。上文已证Aut(H)就是Z/4Z，所以P也和Z/4Z同构，于是P必须有4阶元。但是A_5中尚且没有4阶元（S_5中有，但那不是偶置换），因此矛盾。