已知函数f(x)=ln(x+a)–x(a属于R)，直线l:y=–2x/3+ln3–2/3是曲线y=

Question

已知函数f(x)=ln(x+a)–x(a属于R)，直线l:y=–2x/3+ln3–2/3是曲线y=已知函数f(x)=ln(x+a)–x(a属于R)，直线l:y=–2x/3+ln3–2/3是曲线y=f(x)的一条切线
(1)求a的值
(2)设函数g(x)=xe^x –2x–f(x–a)–a+2，证明:函数g(x)无零点

Answer 1

f(x)=ln(x+a)–x

f'(x)=1/(x+a)-1

斜率为-⅔的切线的切点横坐标x=x₁：1/(x₁+a)-1=-⅔→x₁+a=3

切点纵坐标：ln(3)-x₁

切点在切线上：ln(3)-x₁=-⅔x₁+ln(3)-⅔→x₁=2→a=1

f(x-a)=ln(x-a+1)-(x-a)=ln(x)-x+a

g(x)=xe^x-2x-ln(x)+x-a-a+2=xe^x-xln(x) 定义域x>0

=x[e^x-ln(x)]

令h(x)=e^x-ln(x)

∵x-ln(x)>0→(1-1/x 极小值点x=1→极小值=1>0)

∴h(x)=e^x-ln(x)>e^x-x=i(x)

i'(x)=e^x-1 极小值点x=0，极小值=1>0→i(x)>0

∴h(x)>0→xh(x)=g(x)>0→g(x)无零点。